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En cualquier semigrupo con neutro el cero, si existe, es único.

Supongamos que existen dos ceros, o sea, dos neutros aditivos, 0 y 0’

Por ser 0 neutro, al operarlo con cualquier otro x, 0+x = x. En particular, al operarlo con 0’ se tiene que

0 + 0’ = 0’

Por ser 0’ neutro, al operarlo con cualquier otro x, x + 0’ = x. En particular, al operarlo con 0 se tiene que

0 + 0’ = 0

Pero la suma es única, por ser operación interna. Luego 0 = 0’.

Como los vectores son un grupo, la demostración es válida para vectores.

Teorema de los idénticos

Los idénticos aditivo 0(cero) y multiplicativo 1(uno) son únicos.

Demostración

1) Por contradicción “demostrar lo contrario a lo que suponemos”

Supongamos que existe α ε IR con

α ≠ 0 Tal que α+a=a

α=0 + α idéntico aditivo

α = α + 0 conmutatividad

α = 0 hipótesis

#

Luego el elemento que suponíamos existía no existe, por lo tanto, el 0 (cero) es único