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1) En este caso pongámosle nombre a cada unidad de temperatura: °C = x, °F = y. Si queremos encontrar una función lineal en un plano coordenado (x,y) con dos puntos P(15,59) y Q(20,268) sólo tenemos la posibilidad de usar la ecuación de la recta (con la cantidad de datos que nos dan sólo tenemos la oportunidad de modelar con esta ecuación).

Si graficas P y Q en un plano coordenado, y trazas la línea que une ambos puntos tendrás una idea más clara de lo que hablaremos posteriormente.... listo?? ok, lo que sigue =)

La ecuación de la recta que comúnmente se utiliza para encontrar la función que te piden tiene la forma y = mx + b, donde m es la pendiente de la recta y b es el valor de donde la recta corta al eje de las ordenadas (en este caso, al eje y).

Entonces, con los dos puntos P y Q podemos calcular la pendiente m, por medio de la sig. fórmula:

m = (y2 - y1) / (x2 - x1)

En nuestro caso, los valores correspondientes a (x1, y1) y (x2, y2) son los de P y Q, respectivamente. Entonces:

m = (68 - 59)/(20-15)

m = 1.8

Nuestra recta ya tiene la forma y = 1.8x + b, por lo que falta definir ahora el valor de b.

Sustituyendo los valores de x,y del punto P o Q en la ecuación calculamos b:

Para P(15,59): 59 = 1.8*15 + b; b = 59 - 27. b = 32

Para Q(20,68): 68 = 1.8*20 + b; b = 68 - 36. b = 32

Por lo que la función lineal que relaciona °F y °C es: y = 1.8x + 32.

O de otra manera: (°F) = 1.8(°C) + 32.

Si nombraras °C = x, °F =y, entonces encontrarías la ecuación de la forma (°C) = (5/9)(°F) - (160/9). Cabe destacar que la primera función que puse (m = 1.8, b = 32) es la que se utiliza más frecuentemente para convertir °C a °F y viceversa ;).

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2) Igual que en el caso anterior, es necesario graficar dicha ecuación para poder visualizar la tendencia del cambio de utilidades en función de los artículos producidos. Si y = 6000x - 50x2, donde y representa las utilidades, entonces:

2.A) El número máximo de artículos que se pueden producir para no tener pérdidas corresponden a valores superiores a y = 0; ya que la ecuación corresponde a una parábola, cuando y = 0 los valores de x nos darán sus máximos y mínimos; esto es, obtendremos el mínimo y máximo de artículos que se pueden producir para no tener pérdidas. Así:

0 = 6000x - 50x2. Reacomodando:

50x2 - 6000x = 0. Factorizando:

(x)*(50x - 6000) = 0.

Ya tenemos dos raíces de la ecuación, las cuales nos dan el mínimo y el máximo:

x = 0 (mínimo)

50x - 6000 = 0

x = 120 (máximo)

Por lo tanto, el número máximo de artículos que se pueden producir para no tener pérdidas son 120.

2.B) Para conocer cuántos artículos se deben producir para conocer la máxima utilidad hay que calcular vértice de la parábola; su valor correspondiente a x será el que indique los artículos a producir para tener y utilidades (la máxima utilidad). Hay varios métodos de conocer este vértice:

Gráfico = con la gráfica que hiciste puedes ver claramente que el punto máximo de la parábola corresponde a una altura de 180 000 (utilidades) con x = 60 (artículos). Entonces, los artículos necesarios para tener la máxima utilidad son 60.

Analítico = La ecuación general de la parábola es y = ax2 + bx +c, mientras que las ecuaciones para calcular las coordenadas del vértice están dadas por Vx = -b/2a; Vy = b²/4a -b²/2a + c. ya que la forma de tu ecuación es y = ax2 + bx, calculamos ambos vértices:

Vx = -(-6000)/(2*50); Vx = 60

Vy = (6000^2)/(4*(-50)) - (6000^2)/(2*(-50); Vy = 180 000

Como puedes ver, igual que en el método gráfico observamos que al producir 60 artículos (Vx) obtenemos el máximo de utilidades, 180 000 (Vy).

También puedes derivar la ecuación de la parábola para encontrar el valor que te piden, pero creo que por el nivel de las preguntas aún no tienes ese conocimiento. solo ten en cuenta que también puedes usar esa herramienta matemática para llegar a las mismas respuestas que hemos obtenido.

ufff, eso es todo, espero que te haya quedado claro ^^.

1) No hay una función lineal para estos valores, hay una función afin, las funciones afines son del tipo ecuacion y=ax+b, donde lo que hay que determinar es "a", y "b" a "a" se le denomina pendiente de la recta y es la que marca el crecimiento partido por el avance, segun vemos a

Y.........................X

59F le corresponden 15C

68F le corresponden 20C

sustituyendo en y=ax+b

59=a15+b

68=a20+b

restando

9=5a => a =9/5= 1'8

sustituyendo en la primera

59= 9/5*15+b => 59 = 27 +b => b = 32

el resultado es Y=9/5*X+32 con X los grados en C e Y los grados en F (ojo, no es lineal, es afin)

2)La funcion de utilidad de una empresa esta determinado por la expresion F(x)= 6000x-50x^2 donde x representa el numero de articulos que se producen

A) cual es el maximo de numeros de articulos que se pueden producir para no tener perdidas

o dicho de otra manera , cuanto vale x, tal F(x)>=0

Resolvemos la ecuacion 6000x-50x^2=0 => x(6000-50x)=0 => x=0 o x=6000/50=120, observamos que de 0 a 120 unidades F(X) es positiva, a partir de 120 es negativa, con lo que la respuesta es 120

B) Cuantos articulos se han de producir para tener la maxima utilidad

es el máximo de la función, con l que habrá que derivar F'(x)=6000-100x, igualamos a 0

6000-100x = 0 => x= 60 unidades

Si no sabemos derivar, sabemos que F(x) es una parabola convexa, con raices en 0 y 120, el maximo estara a mitad de camino x=60