¿Afirmaciones verdaderas o falsas?
Hola, necesito saber si estas afirmaciones son verdaderas o falsas. POr supuesto si son verdaderas necesito saber por qué y si son falsas un contraejemplo que lo demuestre. GRacias
1. Sea A un conjunto de numeros reales tal que A=A' y sea f una función que pertenece a D(A). Si existe a,b pertenecientes a A tales que f'(a)=1 y f'(b)=-1, entonces ha de existir un c perteneciente a A tal que f'(c)=0
(a mí me ha salido falsa pero no estoy segura)
2. Sea f una funcion continua en [0,1] con f(x)>= 1/2 para todo x perteneciente a [0,1]. Si la integral definida de 0 a 1 de f(x) es igual a 1/2, entonces f es constante.
Gracias!!
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Hola
1)
¿Qué quieres decir con A' ?
Si la función es continua,
toma todos los valores entre valores intermedios.
En este caso , entre los valores de función 1 y -1
hay un valor de x en que la función toma el valor de 0.
Sólo si la función es continua...
2)
Podemos definir g(x)
g(x) = f(x) - (1/2)
Entonces
g(x) >= 0
ʃ[x_de_0_a_1] g(x) dx = ʃ[x_de_0_a_1] f(x) dx -
- ʃ[x_de_0_a_1](1/2) dx
ʃ[x_de_0_a_1] g(x) dx = ʃ[x_de_0_a_1] f(x) dx -
- (1/2) ʃ [x_de_0_a_1] dx
ʃ[x_de_0_a_1] g(x) dx = ʃ[x_de_0_a_1] f(x) dx -
- (1/2) (x) [x_de_0_a_1]
ʃ[x_de_0_a_1] g(x) dx = ʃ[x_de_0_a_1] f(x) dx -
- (1/2) (1 - 0)
ʃ[x_de_0_a_1] g(x) dx = ʃ[x_de_0_a_1] f(x) dx - (1/2)
De acuerdo al problema
ʃ[x_de_0_a_1] g(x) dx = (1/2) - (1/2)
ʃ[x_de_0_a_1] g(x) dx = 0
*******************************
Esto nos lleva a la teoría de la medida,
si la función f(x) es medible -> g(x) es medible
y g(x) = 0
(ver problema 23G)
Saludos