alguien me pudiera ayudar a hacer este problema, he tratado pero no encuentro se los agradeceria mucho.?
una compañia usa latas de forma cilindrica para envasar chocolate en polvo en su presentacion de 400gr. encuentra las dimensiones que minimice el costo de la lata ( es decir , area minima de hojalata que se debe emplear en cada bote), sabiendo que el volumen de cada bote es de 909.2 cm cubicos.
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el volumen está dado por
v = (pi)r²h
el área lateral por:
al= 2(pi)rh
el área de las tapas:
at= 2(pi)r²
el área total :
a= 2(pi)rh + 2(pi)r²
despejando h de la formula de volumen
h = v/(pi)r²
y sustituyendo
a = 2(pi)rv/(pi)r² + 2(pi)r²
simplificando
a = 2v/r + 2(pi)r²
da = -2v/r² + 4(pi)r
dando valores
0 = -2(909.2)/r² + 4(pi) r
0 = -1818.4/r² + 4(pi)r
multiplicando por r²
0 = -1818.4 + 4(pi)r³
4(pi)r³ = 1818.4
r³ = 1818.4/4(pi)
r³ = 144.70
r = 5.25 cm
h = v/(pi)r² = 909.2/(pi)5.25² = 10.50 cm
A ver:
V=909.2 cm3= pi.R2.h
1.- h=909.2/pi.R2
y tambien:
Area necesaria para hacer el recipiente:
A=Lado cilindro + 2 Tapas:
2.- A=pi.R.h + 2.pi.R2
Reemplaza 1 en 2:
A= pi.R.909.2/pi.R2 + 2.pi.R2
Queda: A= 909.2/R +2.pi.R2
Derivando dA/dR:
dA/dR= -909.2/R2 + 4.pi.R
Igualando a cero, para sacar el minimo:
0= -909.2/R2 + 4.pi.R
909.2/R2 = 4.pi.R
de donde R= Raiz cubica( 909.2/(4pi))
R= 4.167 cm, Fabricando el cilindro e¡con este raidio ocupara la maneor superficie del material.
Saludos
pi.r^2.h = 909,2
h = 909,2/pi.r^2
2pi.r^2+pi.2r.h es mÃnimo
f(r) = 2pi.r^2+pi.2r.909,2/pi.r^2
f(r) = 2pi.r^2 + 2.909,2/r
Para minimizar hay que derivar e igualar a cero la derivada.