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(x-y^3+y^2 sen x)dx=(3xy^2+2y cosx)dy;

(x-y^3+y^2 sen x)dx - (3xy^2+2y cosx)dy = 0

primero corroborar si es exacta:

∂(x-y^3+y^2 sen x) / ∂y= -3y^2 + 2ysenx

∂-(3xy^2+2y cosx) / ∂x= -(3y^2-2ysenx); es exacta.

∫ (x-y^3+y^2 sen x)dx; integro dx;

(1/2)x^2 - y^3x - y^2cosx + f(y); derivo dy:

C= [3y^2x -2ycosx + f ' (y) ] dy; igualo

[3y^2x -2ycosx + f ' (y) ] dy- (3xy^2+2y cosx)dy = 0; simplifico:

[ -4ycosx + f ' (y) ] dy= 0; integro dy:

-2y^2cosx + f(y) = C; Igualo:

(1/2)x^2 - y^3x - y^2cosx + f(y) = C -2y^2cosx + f(y); simplifico:

(1/2)x^2 - y^3x = C - y^2cosx

- y^3x + y^2cosx = C - (1/2)x^2; que es tu respuesta en forma implícita; o también:

(y^2){[(cosx)/x] - y} = (C/x) - (1/2)x;

(4t3y-15t2-y)dt + (t4+3y2-t)dy = 0 Mismos pasos que la anterior:

∂(4t3y-15t2-y) / ∂y = 4t^3-1

∂(t4+3y2-t) / ∂t = 4t^3-1; es exacta.

∫ (4t3y-15t2-y)dt;

t^4y - 5t^3 + f(y); derivo dy:

C= [t^4 + f ' (y)]dy; igualo:

[t^4 + f ' (y)]dy + (t4+3y2-t)dy = 0

(2t^4 + f ' (y)dy + 3y2-t)dy = 0; integro dy:

2yt^4 + f(y) + y^3 - yt = C; igualo:

2yt^4 + f(y) + y^3 - yt = C + t^4y - 5t^3 + f(y); simplifico:

yt^4 + y^3 - yt + 5t^3= C; que es tu respuesta en forma implícita.

Hola, en este video te explico qué son las ecuaciones diferenciales exactas y cómo se resuelven  https://youtu.be/WyEGlx3iAXk

QUIEN ME AYUDA CON ESTA ECUACION DIFERENCIAL HOMOGENEA (x^2e^-y/x+y^2)dx=xydy