Verified answer

Hola Armando, vamos a resolver la integral, paso a paso

: : csc [3x] dx

∫ --------------------

: : tan [3x]

❶ Utilizando las siguientes identidades

: : : : : : 1

csc = -------

: : : : : sen

: : : : : sen

tan = ---------

: : : : : cos

❷ Sustituimos en integral

: : : : : 1

: : : -------------

: : : sen [3x]

∫ ----------------------

: : : sen [3x]

: : -----------------

: : : cos [3x}

❸ simplificamos, aplicando la ley de la tortilla

: : cos [3x]

∫ -------------------

: : sen² [3x]

❹ Utilizamos las siguiente identidades

: : : : : cos

ctg = ---------

: : : : : sen

: : : : : : 1

csc = --------

: : : : : sen

❺ Sustituimos en integral

: : cos [3x]

∫ ---------------------------------

: : sen [3x] * sen [3x]

∫ ctg [3x] * csc [3x]

❻ Esta integral, se resuelve, con la formula

∫ ctg [u] * csc [u] du = - csc [u]

Este es el resultado

==============

- [1/3] csc [3x] + C

==============

Saludos

Integracion por pates?!!!

pero eso si eso sale al ojo con integrales simples no necesitas integrar por partes

fijate csc(3x) se puede escribir como 1/sen(3x)

tan(3x) se puede escribir como sen(3x)/cos(3x) ahora los divides

1/sen(3x) / sen(3x)/cos(3x)

Los sen(3x) se van queda Int (cos(3x)dx) usas la propiedad de tabla de integrales

Int (cos(nx)dx) = cos(nx)/n

Por ende la respuesta es: cos(3x)/3 + Cte

Nos vemos no etiendo porque matarse el cerebro sacando eso por integracion por partes