Imagine el rectángulo (recuerde que un cuadrado también es un rectángulo, pero no todos los rectángulos son cuadrados) inscrito en el círculo, con el lado más largo horizontalmente y el otro vertical.
Ahora el radio del círculo pasará de la esquina inferior derecha del rectángulo hasta el centro y hasta llegar a la otra esquina para formar un diámetro de 8 cm. Esta diagonal separa la esquina (ángulo recto) del rectángulo en 2 ángulos: a y b (a entre el radio y el largo, y b entre el radio y el ancho). Entonces sabemos que a + b = 90.
Debemos buscar el área máxima, entonces ¿Como la planteamos?
Ar = l*a (largo y ancho)
fácil, pero cuando el área es máxima?
Se debe plantear el largo y el ancho en términos de algo constante (radio o diámetro) y solo una cosa que varié (el ángulo a). Entonces:
l = d*sen(a) = 8*sen(a)
a = d*cos(a) = 8*cos(a)
Finalmente:
Ar = l*a = 8*sen(a)*8*cos(a) = 64*sen(a)*cos(a)
a puede variar de 0 hasta 90°, pero el producto de la función sen y cos es máximo cuando a = 45°
Entonces:
Ar = 64*sen(45)*cos(45) = 64*√(2)/2*√(2)/2 = 64/2 = 32 cm2
Ádemás nuestro rectángulo se convierte en un cuadrado. También se puede utilizar una formula que determina el área máxima de un cuadrado inscrito en un círculo de radio conocido:
Puesto que como dicen los demas no esta claro si 4cm es el radio o el diametro hare el problema general asumiendo que r es el radio de la circunferencia.
No puedo dibujarlo pero asumamos que la circunferencia esta centrada en los ejes, asi su ecuacion será x2+y2=r2. Debido a la simetria se puede simplificar la funcion objetivo a maximizar A(x,y)=(2x)(2y) (que indica el area del rectangulo para valores distintos de x e y) a A(x,y)=xy.
Asi y puesto que g(x,y)=x2+y2-r2 (esto viene de la ligadura) y que grad(A(x,y))=t.grad(g(x,y))...obtenemos los siguientes sistemas de ecuaciones:
y=2tx
x=2ty
x2+y2=r2
de solucion...
x=(raiz(2).r)/2
y=(raiz(2).r)/2
si asumimos que r=4
x=2raiz(2)
y=2raiz(2)
Ahora bien, como lo que pides es el area, y x e y son la mita de los lados...A=2.2.raiz(2).2.2.raiz(2)=32cm2 (asumiendo que r=4cm)
1) 4= 2*Pi*r (con r radio); procedemos a despejar el radio y el resultado es el siguiente: 4/(2*Pi) = r = 2/Pi = 0.636619772. Esto implica que el diametro(d) = 4/Pi=1.273239545
Cuando una de las bases del rectangulo tiende hacia el diametro, los lados adyacentes, es decir "alturas" tienden a cero, por eso podremos concluir que las bases nunca llegaran a ser iguales a d. Pensemos entonces en triangulos rectangulos, ya que son, por decirlo sencillamente, en las partes en las cuales podremos dividir a un rectangulo con una de sus diagonales. Suponiendo que la diagonal sea la maxima, o sea, el diametro, deberemos encontrar cual es el triangulo con area maxima. Efectivamente notaremos que cualquier triangulo inscrito en una semicircunferencia es rectangulo (teorema). Sabemos entonces que el radio perpendicular al diametro es mayor que todos los segmentos perpendiculares trazados desde los puntos sobre el diametro y que no son el centro (teorema), y por lo tanto, el triangulo que tenga la mayor altura (o sea, al radio) tendra el area mayor dentro de la semicircunferencia. Entonces:
1) Base del triangulo=d=4/Pi;
2) Altura= 2/Pi;
3) Area del Triangulo= (4/Pi * 2/Pi * 1/2) =4/(Pi^2);
4) Area del rectangulo= 2*Area del Triangulo= 8/ (Pi^2).
Con estos resultados obtenemos el cuadrado de diagonal d=diametro, que es el rectangulo que buscabamos.
Ahora, como dices, el radio=4, sencillamente recurrimos a bh/2 del triangulo con area maxima:
1) d*r /2 = 8*4/2 = 16 cm2. Y multiplicando por 2: 16*2= 32 cm2 y esta es el area del cuadrado (rectangulo, por supuesto).
Viripi obtuvo el área del cuadrado, pero la pregunta es el área de un rectángulo.
Se obtiene por derivadas. Hay que expresar la ecuación del area del rectángulo en función de los datos del circulo (no queda claro si 4cm es el diámetro, el radio, el perÃmetro). Y derivar una vez. Los valores que hacen cero la derivada primera es un máximo o un mÃnimo.
Es posible que el de mayor area sea justamente el cuadrado.
Partiendo de la base que lo que te dieron fue el valor de la circunferencia. lo que no está muy claro en el texto, tendremos
c = D X Pi
D= 3,1415/4= 0,79
El diámetro será el valor de la diagonal del cuadrado, y el área de un cuadrado calculada por las diagonales es la mitad de el cuadrado de la diagonal.
D x D/2= 0,79 X 0, 79/2= 0,3084 cm2
Ahora tengo la sensación de que falta perte del texto y que los 4cm no correponden a la circunferencia (perÃmetro) sino a un diámetro o radio. Si me aclaras eso, te paso la solución.
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Saludos
Imagine el rectángulo (recuerde que un cuadrado también es un rectángulo, pero no todos los rectángulos son cuadrados) inscrito en el círculo, con el lado más largo horizontalmente y el otro vertical.
Ahora el radio del círculo pasará de la esquina inferior derecha del rectángulo hasta el centro y hasta llegar a la otra esquina para formar un diámetro de 8 cm. Esta diagonal separa la esquina (ángulo recto) del rectángulo en 2 ángulos: a y b (a entre el radio y el largo, y b entre el radio y el ancho). Entonces sabemos que a + b = 90.
Debemos buscar el área máxima, entonces ¿Como la planteamos?
Ar = l*a (largo y ancho)
fácil, pero cuando el área es máxima?
Se debe plantear el largo y el ancho en términos de algo constante (radio o diámetro) y solo una cosa que varié (el ángulo a). Entonces:
l = d*sen(a) = 8*sen(a)
a = d*cos(a) = 8*cos(a)
Finalmente:
Ar = l*a = 8*sen(a)*8*cos(a) = 64*sen(a)*cos(a)
a puede variar de 0 hasta 90°, pero el producto de la función sen y cos es máximo cuando a = 45°
Entonces:
Ar = 64*sen(45)*cos(45) = 64*√(2)/2*√(2)/2 = 64/2 = 32 cm2
Ádemás nuestro rectángulo se convierte en un cuadrado. También se puede utilizar una formula que determina el área máxima de un cuadrado inscrito en un círculo de radio conocido:
Ar = [(2*r)^2]/2
Saludos y suerte
Vamos a partir de que un cuadrado también es un rectángulo.
El mayor rectángulo aquà cuadrado es el que la diagonal es la misma que el diámetro de la circunferencia.
El área de la mitad del cuadrado sera : 8 x 4 dividido entre dos = 16
Como son dos mitades 16 x 2 = 32 cm cuadrados
LASTIMA QUE NO HAY EDITOR GRAFICO!!! AYUDARIA MUCHO
Paso 1: à rea del rectà ngulo= base por altura
enconces: Area= (2x)*(2y)
pero y= raiz cuadrada de (radio al cuadrado menos x al cuadrado)
entonces: Area= 4*x*raiz(16-x^2)
Paso 2 derivar area respecto a x
d area/dx=4(16-x^2)^(1/2)-4(x^2/((16-x^2)^(1/2)
Paso 3 igualar a cero y despejar x
x=raiz(8) y -raiz(8)
Paso 4: encontrar y
y=raiz(16-raiz(8)^2) )= raiz de 8
Paso 5 calcular area
Area=raiz(8)*raiz(8)= 8 cm cuadrados
tara!!!.....
Para resolver este tipo de problemas (maximizar una funcion objetivo con restricciones) se utiliza un método ingenioso debido a Lagrange que se conoce como los multiplicadores de Lagrange.
Puesto que como dicen los demas no esta claro si 4cm es el radio o el diametro hare el problema general asumiendo que r es el radio de la circunferencia.
No puedo dibujarlo pero asumamos que la circunferencia esta centrada en los ejes, asi su ecuacion será x2+y2=r2. Debido a la simetria se puede simplificar la funcion objetivo a maximizar A(x,y)=(2x)(2y) (que indica el area del rectangulo para valores distintos de x e y) a A(x,y)=xy.
Asi y puesto que g(x,y)=x2+y2-r2 (esto viene de la ligadura) y que grad(A(x,y))=t.grad(g(x,y))...obtenemos los siguientes sistemas de ecuaciones:
y=2tx
x=2ty
x2+y2=r2
de solucion...
x=(raiz(2).r)/2
y=(raiz(2).r)/2
si asumimos que r=4
x=2raiz(2)
y=2raiz(2)
Ahora bien, como lo que pides es el area, y x e y son la mita de los lados...A=2.2.raiz(2).2.2.raiz(2)=32cm2 (asumiendo que r=4cm)
Tenemos los siguientes datos:
1) 4= 2*Pi*r (con r radio); procedemos a despejar el radio y el resultado es el siguiente: 4/(2*Pi) = r = 2/Pi = 0.636619772. Esto implica que el diametro(d) = 4/Pi=1.273239545
Cuando una de las bases del rectangulo tiende hacia el diametro, los lados adyacentes, es decir "alturas" tienden a cero, por eso podremos concluir que las bases nunca llegaran a ser iguales a d. Pensemos entonces en triangulos rectangulos, ya que son, por decirlo sencillamente, en las partes en las cuales podremos dividir a un rectangulo con una de sus diagonales. Suponiendo que la diagonal sea la maxima, o sea, el diametro, deberemos encontrar cual es el triangulo con area maxima. Efectivamente notaremos que cualquier triangulo inscrito en una semicircunferencia es rectangulo (teorema). Sabemos entonces que el radio perpendicular al diametro es mayor que todos los segmentos perpendiculares trazados desde los puntos sobre el diametro y que no son el centro (teorema), y por lo tanto, el triangulo que tenga la mayor altura (o sea, al radio) tendra el area mayor dentro de la semicircunferencia. Entonces:
1) Base del triangulo=d=4/Pi;
2) Altura= 2/Pi;
3) Area del Triangulo= (4/Pi * 2/Pi * 1/2) =4/(Pi^2);
4) Area del rectangulo= 2*Area del Triangulo= 8/ (Pi^2).
Con estos resultados obtenemos el cuadrado de diagonal d=diametro, que es el rectangulo que buscabamos.
Ahora, como dices, el radio=4, sencillamente recurrimos a bh/2 del triangulo con area maxima:
1) d*r /2 = 8*4/2 = 16 cm2. Y multiplicando por 2: 16*2= 32 cm2 y esta es el area del cuadrado (rectangulo, por supuesto).
Cuatro centÃmetros es qué? el radio?, el diámetro? el perÃmetro?
Viripi obtuvo el área del cuadrado, pero la pregunta es el área de un rectángulo.
Se obtiene por derivadas. Hay que expresar la ecuación del area del rectángulo en función de los datos del circulo (no queda claro si 4cm es el diámetro, el radio, el perÃmetro). Y derivar una vez. Los valores que hacen cero la derivada primera es un máximo o un mÃnimo.
Es posible que el de mayor area sea justamente el cuadrado.
Partiendo de la base que lo que te dieron fue el valor de la circunferencia. lo que no está muy claro en el texto, tendremos
c = D X Pi
D= 3,1415/4= 0,79
El diámetro será el valor de la diagonal del cuadrado, y el área de un cuadrado calculada por las diagonales es la mitad de el cuadrado de la diagonal.
D x D/2= 0,79 X 0, 79/2= 0,3084 cm2
Ahora tengo la sensación de que falta perte del texto y que los 4cm no correponden a la circunferencia (perÃmetro) sino a un diámetro o radio. Si me aclaras eso, te paso la solución.