Verified answer

Hola,

escribamos la integral como:

∫ (e^x)² arctan(e^x) dx =

∫ e^x arctan(e^x) e^x dx =

sea:

e^x = t

(diferenciando ambos miembros)

d(e^x) = dt

e^x dx = dt

luego, sustituyendo:

∫ e^x arctan(e^x) e^x dx = ∫ t arctan t dt =

∫ (arctan t) t dt =

integremos por partes, poniendo:

arctan t = u → [1 /(t² + 1)] dt = du

t dt = dv [1/(1+1)] t¹ ⁺ ¹ = (1/2)t² = v

obteniendo:

∫ u dv = v u - ∫ v du

∫ (arctan t) t dt = (1/2)t² arctan t - ∫ (1/2)t² [1 /(t² + 1)] dt =

(sacando la constante)

(1/2)t² arctan t - (1/2) ∫ [t² /(t² + 1)] dt =

siendo numerador y denominador del mismo grado, sumemos y restemos 1 en el numerador:

(1/2)t² arctan t - (1/2) ∫ [(t² + 1 - 1) /(t² + 1)] dt =

(distribuyendo y simplificando)

(1/2)t² arctan t - (1/2) ∫ {[(t² + 1) /(t² + 1)] - [1 /(t² + 1)]} dt =

(1/2)t² arctan t - (1/2) ∫ {1 - [1 /(t² + 1)]} dt =

(partiendo en dos integrales)

(1/2)t² arctan t - (1/2) ∫ dt - (1/2) ∫ [- 1 /(t² + 1)] dt =

(1/2)t² arctan t - (1/2)t + (1/2) ∫ [1 /(t² + 1)] dt =

(1/2)t² arctan t - (1/2)t + (1/2)arctan t + C

sustituyamos de nuevo e^x a t:

(1/2)(e^x)² arctan(e^x) - (1/2)e^x + (1/2)arctan(e^x) + C =

concluyendo con:

(1/2)e^(2x) arctan(e^x) - (1/2)e^x + (1/2)arctan(e^x) + C

espero que sea de ayuda

¡Saludos!

Mira voy a procurar explicarte paso a paso la integral, me demore un buen rato ....

-La integral se puede solucionar por el método de "integración por partes" en el cual separamos los términos de la integral, integramos uno y derivamos el otro, así:

e"2x(tan"-1e"x)dx = e"2xdx(arctan e"x)

En este punto separamos las funciones, una la integramos y la otra la derivamos a conveniencia, en este caso vamos a derivar tangente inversa y a integral la exponencial:

u=arctan e"x du=(1/(1+(e"x)"2))dx

dv=e"2xdx v=e"2x

Aplicamos la integración por partes (int.udv = uv - int.vdu) y simplificamos..... y resulta:

int. (e"2x(tan"-1e"x)dx) = (e"2xarctan e"x) - (ln |1+e"2x|)/2 + c

Puedes verificar el resultado, no olvides la constante de integración ya que una integral indefinida; tan solo me salte un paso, sino que es complicado copiar todos los términos aquí xD ... espero te sirva me demore bastante haciendola y mas aun copiandotela aquí :D