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a) La masa de la estrella, que designaremos por M, se calcula fácilmente teniendo en cuenta que la fuerza con la que atrae dicha estrella al planeta que describe la órbita circular, cuya masa designaremos por m ₁, es , en virtud de la ley de gravitación universal,

F = G (Mm ₁/r₁²)

y esta fuerza, por otra parte, es la fuerza centrípeta que actúa sobre m, por tanto,

F = m ₁.an = m ₁.(v ²/r₁) y puesto que, v = r.ω, la expresión anterior queda en la forma,

F = m ₁r₁ω² = m ₁r₁(2π/T₁)², ya que, ω = 2π/T₁ donde T₁ es el periodo.

Igualando ahora los segundos miembros de las dos expresiones de F, y simplificando, se obtiene,

M = (4π²/G).(r₁³/T²)

donde no hay más que sustituir valores teniendo cuidando con las unidades.

Esta expresión podría haberse deducido a partir de la tercera ley de Kepler:

"El cuadrado del periodo de revolución alrededor del sol es proporcional al cubo del semieje mayor de la órbita, siendo la constante de proporcionalidad igual para cada planeta."

b) Una vez calculada la masa de la estrella M, es fácil calcular el período de la órbita del planeta 2, precisamente a partir de la tercera ley de Kepler:

T₂² = (4π²/GM).r₂³, es decir, T₂ = √(4π²/GM).r₂³ (la raíz cuadrada abarca todo el segundo miembro),

donde r₂ es el semieje mayor de la órbita del planeta 2, es decir, r₂ = (1/2) (10¹¹+1,8.10¹¹) metros =

= 1,4.10¹¹ metros.

c)Los momentos angulares del planeta 2 en la posición más cercana a la estrella M, y en la más alejada son, respectivamente,

J₁ = m.r₁.v₁.sen θ

J₂ = m.r₂.v₂.sen θ donde θ = 90º puesto que en dichas posiciones las velocidades v ₁ y v₂ son

perpendiculares a los respectivos radios r ₁ y r₂. Y como el momento angular se conserva, igualando los segundos miembros de las expresiones anteriores, y simplificando, se obtiene,

r₁.v₁ = r₂.v₂

Por otra parte, puesto que también se conserva la energía mecánica del planeta, se puede escribir que,

(1/2)mv₁² –G(Mm/r₁) = (1/2)mv₂² –G(Mm/r₂)

Las dos últimas expresiones constituyen un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, y resolviendo, se obtiene:

v₁ = √ (2GMr₂) / r₁(r₁+/r₂) (la raíz cuadrada abarca todo el segundo miembro).

Saludos,

Aletos.