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∫ 3^[ √(2x + 1) ] dx

Tenemos que integrar una función potencial, en donde la potencia es a su vez una función de "x". Si llamamos "a" a la base de la potencia,

a = 3

y llamamos "t" al exponente,

t = √(2x + 1)

tenemos que

dt = dx / √(2x + 1)

dt = dx / t

t dt = dx

y la integral queda

∫ a^t.t.dt, la cual se resuelve por partes, haciendo

u = t ---> du = dt

y haciendo

dv = a^t dt ----> v = ∫ a^t dt

Esta última integral se resuelve mediante fórmula:

∫ a^t dt = a^t / Ln(a)

entonces

v = a^t / Ln(a)

y la integral que estamos resolviendo por partes es

∫ u dv = uv - ∫ v du

∫ t.a^t.dt = [ t.a^t / Ln(a) ] - ∫ [ a^t / Ln(a) ]dt

∫ t.a^t.dt = [ t.a^t / Ln(a) ] - [ 1 / Ln(a) ] ∫ a^t.dt

∫ t.a^t.dt = [ t.a^t / Ln(a) ] - [ 1 / Ln(a) ] [ a^t / Ln(a) ]

∫ t.a^t.dt = [ t.a^t / Ln(a) ] - [ a^t / Ln²(a) ] + C

A partir de ahí, solamente devolver las sustituciones:

∫ √(2x + 1).3^[ √(2x + 1) ].[ dx / √(2x + 1) ] = [ 3^√(2x + 1) ]√(2x + 1) / Ln(3) ] - [ 3^√(2x + 1) / Ln²(3) ] + C

∫ 3^√(2x + 1).dx = [ 3^√(2x + 1) ]√(2x + 1) / Ln(3) ] - [ 3^√(2x + 1) / Ln²(3) ] + C

que es el mismo resultado que se conocía.

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Aunque en realidad no está tan inflado mi ego como para molestarme por la desaparición del cuadro anaranjado bajo mi alias donde se admite que soy "colaborador destacado", sí me veo obligado a denunciar el nuevo y torpe intento por molestarme practicado por la reacción de este foro, encargada de censurar a aquéllos cuyas ideas progresistas los indignan.

El fascismo no descansa, los progresistas tenemos que mantenernos alertas 24/7.

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Para verificar que en efecto la función propuesta es la antiderivada o integral indefinida de la función que se integra, simplemente deriva la antiderivada, el resultado debe ser la función que integras, si no hay un error en el resultado. recuerda que puedes sumar cualquier constante a la antiderivada sin que ésta pierda su condición.