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Hola Diego, te mando tres, intenta la restante

1) a^n * a^m = a^(n+m)

suponemos que uno de los exponentes es fijo, por ejemplo n, y variamos el otro.

Si m = 1,

a^n * a^1 = a^(n+1)

por la definición (la lees de derecha a izquierda)

suponemos que (después de verificar muchos casos), se ha logrado demostrar que para un entero particular k, es verdad que

a^n * a^k = a^(n+k)

(hipótesis de inducción)

Queremos saber que ocurre si ahora m = k + 1, substituimos este nuevo valor en la expresión original y aplicamos la definición de exponente

P(n, k+1) =a^n * a^(k+1) = a^n * a^k * a^1

aplicas asociatividad y combinas los dos primeros factores, la hipótesis de inducción garantiza la igualdad

P(n, k+1) = a^(n+k) * a^1

= a^(n+k+1) por la definición.

Es lo que querías demostrar.

Por lo tanto la igualdad

a^n * a^m = a^(n+m)

es verdadera para todos los enteros positivos.

3) a^n * b^n = (ab)^n

Parte 1

a⁰ b⁰ = 1 = (ab)⁰ por la definición

Parte 2

Supones que después de realizar ciertas operaciones ya lograste demostrar que para un entero k particular es cierto que

a^k b^k = (ab)^k

debemos verificarla para n = k+1

a^(k+1) b^(k+1) = a * a^k * b * b^(k) (hip. de inducción)

= (a b) (a b)^k

= (a b)^(k+1) por definición.

4) Idéntica a la anterior, sólo cambia * por / y usa la regla para multiplicar fracciones.

2) a^n : a^p = a^(n-p)

Suponemos que la potencia en el denominador es fija.

Parte 1

Si n = 0, entonces

a⁰/a^p = 1/a^p = a^(-p)

por definición de exponente negativo, entonces

a⁰/a^p = a^(0-p)

Parte 2

suponemos que para n = k es verdadero

a^k/a^p = a^(k-p)

debemos probar que se n = k + 1, la propiedad también se cumple

a^(k+1)......a * a^k

--------- = ----------

a^p..............a^p

= a * a^(k - p)

= a^[ (k + 1) - p]

Supongo que no tendrás problema con la última.

¡Suerte!