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La fórmula que relaciona el lado de un polígono y el radio es:

L = 2*r*sen(180°/n)

Necesitamos obtener el lado, entonces sustituímos:

L = 2*3*sen(180°/5)

L = 6*sen(36°)

Ahora, la fórmula que te da el área en términos del lado es:

A = L²*n/(4*tan(180°/n))

Sustituimos:

A = (6*sen36°)²*5/(4tan36°)

A = 36*sen²36°*5/4/tan36°

A = 45*sen36°*cos36°

A = 22.5*sen72°

De manera aproximada obtenemos:

A = 21.39 cm²

Formamos 10 triangulos rectangulos con las siguientes medidas:

A=36°

B=54°

C=90°

a=? (lado/2)

b=? (altura)(apotema) *********

c=3 cm (radio, hipotenusa)

Area=(perimetro x apotema)/2

b=c Sen B

b=3 x 0.809017

b=2.42705 ********

a=Raiz de [c^2-b^2]

a=Raiz de [9-5.8906]

a=1.763356 cm

lado del pentagono=1.763356 x 2 = 3.5267 cm

Perimetro=17.63356 ********

Area=(17.63356 x 2.42705)/2

Area=42.7975/2

Area=21.4 cm^2 << ===================

El área de cualquier polígono regular se calcula:

Perímetro x Apotema / 2

Te dan el radio de la circunferencia circunscrita, por tanto ese radio corresponde a uno de los lados iguales de los triángulos isósceles que se forman al trazar todos los radios a los vértices del pentágono.

También se puede saber el ángulo central dividiendo el ángulo total de la circunferencia (360º) entre 5 lados que tiene el pentágono: 360 : 5 = 72º

Dividiendo ese ángulo por la mitad: 72 / 2 = 36, tengo los datos necesarios para hallar el lado del pentágono ya que al trazar la altura de uno de los triángulos se me parte en dos el isósceles y me quedan dos triángulos rectángulos donde el radio será la hipotenusa, la apotema (o altura del triángulo) será el cateto mayor y la mitad del lado del pentágono será el cateto menor.

con la función seno y coseno calculas los dos catetos. El menor lo multiplicas por 2 y obtienes lo que mide el lado del pentágono.

Con el mayor obtienes lo que mide la apotema del pentágono.

Y con esos datos ya se puede aplicar la fórmula del área del pentágono que dije al principio.

Saludos.

solucion

Hola preciosa Anuska ; )

Resolvamos correctamente tu ejercicio Okis ; )

¿Calcular el área de un pentagono regular inscrito en una circunferencia de 3 cm de radio.?

Respuesta correcta

Sabemos que el area del pentagono es:

Area del pentagono = (semiperimetro)(apotema)

o lo que es lo mismo :

Area del pentagono = (5/2)(lado del pentano)(apotema)

por lo tanto tenemos que hallar el lado del pentagono y tambien debemos hallar el apotema del pentagono okis

sabemos por Geometria elemental que :

Lado del pentagono = (1.18)(Radio)

Por dato :

Radio = 3 cm

Por lo tanto , reemplazando tenemos

Lado del pentagono = (1.18)(3)

Lado del pentagono = 3.54 cm

Ahora tambien sabemos por Geometria elemental que :

apotema del pentagono = (0.81)(Radio)

apotema del pentagono = (0.81)(3)

apotema del pentagono = 2.43 cm

Finalmente de nuestra formula inicial :

Area del pentagono = (5/2)(lado del pentano)(apotema)

Area del pentagono = (5/2)(3.54)(2.43)cm²

desarrollando obtenés :

Area del pentagono = 21.501 cm²

Esta es la Respuesta Correcta , que la sigas pasando Lindo , Byeeee ; )

El pentágono se puede partir en 5 triangulos isoceles iguales.

Bastará calcular el area de cada uno de ellos y multiplicarla por 5.

Los lados iguales del triángulo isoceles miden 3 cm

El ángulo entre ellos es 360 / 5 = 72°

Sea h su altura y b la medida de su base

Partamos el triangulo isoceles con una bisectriz a traves de este angulo en dos triangulos rectangulos ( esto con el fin de calcular la altura )

De este triangulo rectangulo se obtiene h = 3 cos( 36° )

y tambien se obtiene b = 6 sen( 36° )

Por lo tanto el area del triangulo isóceles es bh / 2 = 18sen(36°)cos(36°)/2 = 9/2 sen(72°)

Luego el área del pentagono es 45/2 sen(72°) = 21.4 cm^2