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Otra forma:

Una recta que pase por P será de la forma:

y+10=m(x-7) --> y= mx-7m-10

Buscamos las rectas que sólo corten a la hipérbola en un punto --> 4x² - 5·(mx-7m-10)²=16 una única solución

--> 4x² - 5·(m²x²+49m²+100-14m²x-20mx+140m)= 16

--> (4-5m²)· x² - 5·(-14m²-20m)x -5·(49m²+100+140m) -16=0

--> (4-5m²)· x² + 10·m·(7m+10)·x - (245m²+700m+516)=0

tiene discriminante nulo

--> 10²m²·(7m+10)² + 4·(4-5m²)·(245m²+700m+516)=0

--> 5²·m²·(7m+10)² + (4-5m²)·(245m²+700m+516)=0

1225 m^4+ 3500m³+2500 m² +980 m² +2800 m +2064

-1225 m^4 -3500m³-2580m²=0

--> 900·m²+ 2800·m + 2064=0

225·m² +700m +516 =0

m= {-700 ±√[700²-4·225·516]}/450 = [-700±160]/450

m= -540/450=-6/5 o m=-860/450= -86/45

Las dos tangentes son: y= mx-7m-10

T1: y= -6/5·x -8/5

T2: y= -86/45x +152/45

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los puntos de tangencia:

(4-5m²)· x² + 10·m·(7m+10)·x - (245m²+700m+516)=0

x= 5·m·(7m+10)/(5m-4)

P1(24/25, -344/125)

P2(-2,38, 7,93)

saludos.

hecho al modelo que le enseñan a uno en el kindergarden:

despejar y de la ecuacion, nos da dos valores:

y1=raiz cuadrada de((4x²-16)/5)

y2=- raiz cuadrada de((4x²-16)/5)

en otras palabras:

convención 4x²-16= k

y1'= (1/10)(8x)/{raiz cuadrada de(k)}=(2x/5k)

y2'= -y1'= -2x/5k,

la ecuacion de la recta tangente a una curva (función) en un punto dado es:

y - y0=f'(x0)(x-x0)

las rectas tangentes son respectivamente

g1=y1'(7)(x-7) -10

g2=y2'(7)(x-7) - 10

g1=(14/15)(x-7) - 10

g2=(-14/15)(x-7) - 10,

aunque por las simetrias de la hiperbola, si no este resultado en párticular en general las rectas tangentes

y1 & y2 deben de satisfacer " y1=-y2"