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Para o caso de:

∫ dx/(x²+4)

Consideramos, para uma substituição trigonométrica:

x = 2 tg θ . . . x² = 4 tg² θ

dx = 2sec² θ dθ

=>

∫ dx/(x²+4) = ∫ (2sec² θ dθ) / (4 tg² θ + 4)

2/4 * ∫ (sec² θ dθ) / (tg² θ + 1) =

1/2 * ∫ (sec² θ dθ) / (sec² θ) =

1/2 * ∫ dθ =

1/2 * θ + c

Como:

x = 2 tg θ

=>

tg θ = x/2

θ = arc tg (x/2)

=>

∫ dx/(x²+4) = 1/2 * arc tg (x/2) + c

:.

∫(1/x^2+4)dx

∫(1/x^2)dx + ∫4dx

∫x^-2dx + 4∫dx

-x^-1 + 4x + C

ou

-1/x + 4x + C