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Mira, este tipo de integral corresponde a la integración de funciones racionales en las que intervienen senx y de cosx, y las mismas se pueden reducir a integrales de cocientes de polinomios por medio de las sustituciones:

u = tan(x/2)

senx = 2u/(1+u²)

cosx = (1-u²)/(1+u²)

dx = (2.du)/(1+u²)

Después de esta aclaración, resolveré la integral:

∫dx / (1-cos x) = ∫((2.du)/(1+u²))/(1-(1-u²)/(1+u²))

= 2∫du/(1+u²-1+u²)

= 2∫du/2u²

= ∫du/u²

= ∫u^(-2)du

= - u^(-1) + c

= - 1/u + c

= - 1 /(tan(x/2)) + c , {Pero cot(x/2) = 1 /(tan(x/2))}

= -cot(x/2) +c

Finalmente:

∫dx / (1-cos x) = -cot(x/2) +c

Este tipo de integral en particular, también se puede resolver mediante identidades trigonométricas e integrales inmediatas, a saber:

1/(1-cos x) =

= (1 + cosx )/( (1-cosx)(1+cosx))

= (1 + cosx )/(1- cos²x), pero 1- cos²x = sen²x

= (1 + cosx )/( sen²x)

= (1/sen²x ) + (cosx / sen²x), esto por que: (a+b)/c = a/c + b/c

= csc²x + cotx.cscx, por que: 1/sen²x = csc²x, y (cosx / sen²x ) = cotx.cscx

Asi:

∫dx / (1-cos x) = ∫( csc²x + cotx.cscx) dx

= ∫csc²x.dx + ∫ cotx.cscx. dx, como: ∫csc²x.dx = -cotx +c, y ∫cotx.cscx.dx =-cscx +c

= -(cotx + cscx) + c

Espero haberte ayudado!!!!