¿Cómo averiguar un número que tenga 100 divisores?
He estado investigando en Internet y sólo he encontrado esta respuesta:
Un numero tiene tantos divisores como la multiplicacion de la potencia de sus factores primos mas 1
ASi factoreamos 100 y tenemos que es 2*2*5*5 por lo tanto para que tenga 100 divisores el numero debe factorearse en 2 potencias a la cuarta y dos a la primera o una potencia a la 99 o una a la tercera y 2 a la cuarta o una a la tercera y otra a la 24. Evidentemente el menor numero seria 2*2*2*2*3*3*3*3*5*7=45360
No entiendo por qué debe factorizarse en las potencias que aparecen aqui y porque el resultado es ese, ¿me lo podriais explicar mejor, o decirme otro método más sencillo para averiguarlo?
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Bueno, aquí está correcta tu proposición de opciones para formar números con cien divisores. No entiendo cuál es la factorización que no entiendes.
Para empezar y que quede claro, el número de divisores de un número se obtiene sacando su descomposición en primos primero, después todos esos números primos deberán estar a una potencia dada. Para obtener el número de divisores hay que sumarle uno a cada número de la potencia de los factores primos y multiplicar cada uno de esos números. Si queda alguna duda de eso abajo pondré un link que me ayudó a comprender mejor la razón por la que se hace eso.
Creo que lo que te están preguntando es un número con cien divisores (puesto que hay una infinidad), pero que sea el menor posible de todos los que pudieran formarse. Así que por eso hay varias opciones como tu las numeras. Puesto que quieres formar el número más pequeño posible usarás los números primos más pequeños que puedas encontrar. Las diferentes maneras de formar un número con cien divisores las enumero a continuación:
1.- un número a la potencia 99
(99+1)=100
2.- un número a la 49 y otro a la 1.
(49+1)(2)=100
3.- un número a la 24 y otro número a la 3
(24+1)(3+1)=100
4.- un número a la 24 y dos números a la 1
(24+1)(1+1)(1+1)=100
5.- un número a la 19 y otro número a la 4
(19+1)(4+1)=100
6.- Dos números a la 9
(9+1)(9+1)=100
7.- Dos números a la 4 y uno a la 3
(4+1)(4+1)(3+1)=100
8. Dos números a la 4 y dos números a la 1.
(4+1)(4+1)(1+1)(1+1)=100
Tal vez se me halla pasado alguna combinación de números, pero las más importantes en analizar son las dos últimas.
Si tenémos dos números a la cuarta y otro a la tercera, podemos analizar lo que pasa usando los primos más pequeños.
2^4= 16
3^4= 81
5^3= 125
Ovbiamente el que se va a elevar al cubo debe ser el mayor de los primos para que no crezca tanto.
Si tenemos dos números a la cuarta y dos números a la 1:
2^4= 16
3^4= 81
5^1= 5
7^1= 7
Vemos la diferencia entre las dos opciones. Los dos tienen al 16 y al 81, pero varían porque uno contiene al 125 y otro contiene al 7 y al 5 (lo que equivale al 35). Es ovbio que entre más números primos se usen el número será menor, no conviene que sean potencias grandes, ya que en la fórmula se le suma uno a la potencia del número primo. De tan sólo imaginar el tamaño de la primera opción, sería 2^99 y creo que ese número ni si quiera cabe en la calculadora, y aunque tiene 100 divisores no es el más pequeño posible, si lo que pidieran fuera el número más grande posible que tenga 100 divisores sería el infinito elevado a la 99.
El resultado que tienes entonces es el correcto, espero te halla servido mi respuesta.
muestra (power 2 9) * (power 3 9)
10077696
muestra divisores (power 2 9) * (power 3 9)
[1 2 3 4 6 8 9 12 16 18 24 27 32 36 48 54 64 72 81 96 108 128 144 162 192 216 243 256 288 324 384 432 486 512 576 648 729 768 864 972 1152 1296 1458 1536 1728 1944 2187 2304 2592 2916 3456 3888 4374 4608 5184 5832 6561 6912 7776 8748 10368 11664 13122 13824 15552 17496 19683 20736 23328 26244 31104 34992 39366 41472 46656 52488 62208 69984 78732 93312 104976 124416 139968 157464 186624 209952 279936 314928 373248 419904 559872 629856 839808 1119744 1259712 1679616 2519424 3359232 5038848 10077696]
muestra cuenta divisores (power 2 9) * (power 3 9)
100