¿Comó hallar la ecuación de circunferencia circunscrita en un cuadrado?
Hula a ver si me pueden ayudar, ¿Comó hallo la ecuación de la circunferencia circunscrita a un cuadrado cuyos vértices son (2,3), (6,3) ,(6,-1) y (2,-1) ??
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Ya te contestaron correctamente: (x - 4)² + (y - 1)² = 4
En caso de que desees saber de dónde sale todo esto (empíricamente):
Primeramente: En un sistema de coordenadas de la forma P(x,y), "x" se puede considerar como la distancia más cercana entre el punto (P) y el eje "Y"; a su vez, "y" se puede considerar como la distancia más cercana entre el punto (P) y el eje "X".
Coloca una circunferencia en un eje de coordenadas XY, de tal forma que el centro de la misma coincida con el origen del sistema de coordenadas (punto donde se cortan los ejes "X" y "Y"
Marca un punto sobre la circunferencia (donde gustes).
Ahora, traza un linea RECTA desde el punto (P), hasta el eje "X".
También traza una linea recta desde el punto (P), hasta el centro de la circunferencia...
Y se formará un triángulo.
El lado más largo del triángulo (hipotenusa) será SIEMPRE y por obvias razones, el RADIO de la circunferencia.
Asignemos a uno de los catetos el valor de "x".
Asignemos al otro de los catetos el valor de "y".
Recordando el Teorema de Pitágoras: "el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos".
Si ya conocemos el valor de la hipotenusa, entonces es posible hacer una ecuación que nos permita obtener el valor de "y" siempre a partir del valor de "x", así:
a² = b² + c² (teorema de pitágoras, donde "a" es la hipotenusa)
Aplicado a nuestro problema: r² = x² + y² (donde "r" es el radio)
Despejando para "y": y² = r² - x²; x = RaizQuad (r² - x²)
Entonces, para encontrar las coordenadas de cualquier punto sobre la circunferencia (a partir de "x"):
P (x, RaizQuad (r² - x²))
Ahora, hay que encontrar el valor de "r".
Un radio es igual a la mitad de un diámetro.
¿Cuánto mide el diámetro en este caso?
En el caso de una circunferencia inscrita en un cuadrado, el diámetro de la misma es obviamente igual a la longitud de cualquier lado del cuadrado.
¿Cuánto mide el lado del cuadro?
De las coordenadas que te han sido proporcionadas, al valor más alto de "x", réstale el valor más bajo de "x".
El más alto que veo es el "6"; el más bajo, es el "2".
Entonces, 6 - 2 = 4.
Los lados del cuadrado miden 4, entonces d (diámetro) = 4.
r = diámetro / 2 = 4 / 2 = 2.
Sustituyendo: P [x, RaizQuad (2² - x²)] = [x, RaizQuad (4 - x²)]
Pero en este caso, la circunferencia NO ESTA EN EL ORIGEN de las coordenadas. Está inscrito en un cuadrado.
Afortunadamente conocemos las coordenadas de los vértices del cuadrado, y lo único que tiene que hacerse es disminuir a las coordenadas "x" y "y" de "P", la distancia entre dichas coordenadas y las coordenadas del centro del círculo:
Para "x": Al valor menor de "x" súmale la mitad de la longitud de los lados del cuadrado. Esto es: 2 + (4 / 2) = 2 + 2 = 4
Para "y": Al valor menor de "y" súmale la mitad de la longitud de los lados del cuadrado. Esto es: -1 + (4 / 2) = - 1 + 2 = 1
Esto significa que las coordenadas del centro de la circunferencia son: (4, 1). De aquí se desprende que la distancia entre el centro de la circunferencia y el origen de las coordenadas es: para "x", 4, para "y", 1.
Hay que incorporar estos valores a las fórmulas para las coordenadas de los puntos:
P [x,RaizQuad (4 - x²)]
P [x, 1 + RaizQuad (4 - (x - 4)²]
Lo mismo puede expresarse como una ECUACION:
y = 1 + RaizQuad [4 - (x - 4)²]
QUE ES IGUAL A DESPEJAR (x - 4)² + (y - 1)² = 4, PARA "y".
* RaizQuad = Raíz quadrada
grafica los punto, encuentra el punto medio entre 2 puntos(un lado del cuadrado), despues hacer los mismo con el lado contrario del cuadrado.. Los 2 puntos que encuentres serán el diametro de la circunferencia, asi que deberas encontrar la distancia entre ellos (el radio es la mitad de esa distancia) despues sacas el punto medio entre esos 2 puntos y ese será el centro de la circunferencia, es lo que necesitas para la ecuacion de la circunferencia.. entonces, sustituyes estos puntos en la ecuacion de la circunferencia que es:
(x-h)alcuadra +( y-k)al cuadr) = r al cuadr ......donde "h" y "k" son el centro de la circunferencia y "r" el radio...
mira, como maestra de matematicas que inculca a sus alumnos a usar dibujitos ps haz uno... traza en el plano los 4 puntos...como la circunferencia esta circunscrita al cuadrado esta por fuera (esto se dice que los puntos son conciclicos) bueno, regresando al tema, con tu dibujo veras que el centro de la circunferencia esta en (4,1) y luego calculas la distancia de este punto a uno de los puntos (el que sea) ... para hallar el radio calcularia la distancia entre (4,1) y (2, -1) esto se hace: d2= (2-4)2+(-1-1)2=(-2)2+(-2)2=4+4=8... esto es la distancia al cuadrado, usala asi... para obtener la ecuacion de la circ desarrollas...
(x-4)2+(y-1)2=8
y queda:x2-8x+16+y2-2y+1=8
simplificando....x2+y2-8x-2y+9=0 (x2 es x al cuadrado)
okas? espero que sea de utilidad.
sugerencia. es geometria analitica... haz todo con dibujitos en el plano.
Busco el punto de intersección de las diagonales
d1 = pasa por (2,3) (6, -1)
y - 3 = -4/4 (x - 2)
d2 pasa pr (2, -1) y (6, 3)
y+1 = 4/4 (x-2)
y = -x+5
y = x - 3
x - 3 = -x + 5
2x = 8
x = 4 y =1
Intersección (4, 1) es el centro de la circunferencia circunscripta y el radio es la mitad del lado del cuadrado
r = 2
(x-4)^2 + (y - 1)^2 = 4
La ecuación general de un circulo es:
(x-a)² + (y-b)² = r²
donde (a;b) son las coordenadas del centro del cÃrculo.
a = promedio de las coordenadas en x, osea (2 + 6 + 6 +2)/4 = 4
b = promedio de las coordenadas en y, osea (3 + 3 -1- 1)/4 = 1
r = radio es la distancia del centro a cualquiera de los vertices, por ejemplo usando el primero que listas;
distancia del centro a (2;3) es r= raiz de [ (4-2)²+(1-3)² ] = 2.828+/- de manera que r² = 8
asi la equacion de la circunferencia circunscrita es:
(x-4)² + (y-1)² = 8
adicionalmente la eq. de la circunferencia inscrita en el circulo sera:
(x-4)² + (y-1)² =4
Con la ecuacion (x-h)2+(y-k)2=r2(el 2 es cuadrado)
Determinas el punto medio de dos puntos, tales puntos seran los vertices contrarios del cuadrado, es decir, si trazaras una diagonal en el cuadrado para asi formar dos triangulos rectangulos, y el punto medio cera el centro de la ciercunferencia,es decir, puedes tomar los puntos(2,3)y (6,-1), con la siguiente formula
Ym=(y1+y2)/2 =1
Xm=(x1+x2)/2 =4
(4,1) este punto cera el centro de la circunferencia(h,k)
y el radio lo determinas con la formula de la distancia d=raiz((x2-x1)2+(y2-y1)2))
Los puntos pà ra sacar la distancia son los mismos con la cual sacaste los puntos medios, despuest el valor numerico que te salga de la distancia( Este valor se conoce como diametro) lo divides entre 2( asi obtendremos el Radio)....Y finalmente tenemos todos los valores
d=Raiz(32)=4raiz(2)
r=(raiz (32))/2=2raiz(2)
Ecuacion(x-4)2+(y-1)2=8
esta es la ecuacion sugiero la realices paso a paso....
Espero te sirva
Te recomiendo el libro de Anfossi Flores Mayer de geometria analitica o el de Lehman igual de geometria analitica
se trata de que aprendas, por lo que te voy a dar pistas faciles de entender, termina el trabajo:
encuentra la ecuacion de las 2 rectas diagonales, mediante los 2 pares de puntos que te estan dando.
2.- la interseccion de los 2 pares de puntos, o sea de las 2 rectas encontradas, es el centro de la circunferencia.
3.- encuentra la distancia de ese punto o centro,a una de las rectas, que froman el cuadrado, esta recta debera pasar por dos esquinas contiguas del cuadrado,que fromara uno de los lados del mismo,
4.-este calculo, te da la menor distancia posible, es decir, ese punto sera perpendicular a el lado escogido, como la distancia es la menor posible, esta distancia equivale al radio.
5.- ya calculaste el radio, y el centro, lo demas...es pan comido, pero estudia, por eso no lo escribi completo.
por lógica, puedes obtener la localización del vértice del cÃrculo en las coordenadas, pues si está circunscrita en el cuadrado significa que la circunf. toca exactamente en la mitad de cada lado del cuadrado, por lo que: V(4,1). Partiendo de ese dato, es fácil obtener la ecuación general del cÃrculo, sabiendo su vértice.