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Hola,

I) ∫ t ln(t + 1) dt =

sea:

t dt = dv → [1/(1+1)]t^(1+1) = (1/2)t² = v

ln(t + 1) = u → [1 /(t + 1)] dt = du

integremos por partes, obteniendo:

∫ u dv = v u - ∫ v du

∫ [ln(t + 1)] t dt = (1/2)t² ln(t + 1) - ∫ (1/2)t² [1 /(t + 1)] dt =

(llevando fuera la constante)

(1/2)t² ln(t + 1) - (1/2) ∫ [t² /(t + 1)] dt =

siendo el numerador de grado más elevado que el denominador, sustraigamos y sumemos 1 al numerador:

(1/2)t² ln(t + 1) - (1/2) ∫ {[(t² - 1) + 1]/(t + 1)} dt =

partamosla en:

(1/2)t² ln(t + 1) - (1/2) ∫ [(t² - 1) /(t + 1)] dt - (1/2) ∫ [1 /(t + 1)] dt =

(factorizando (t² - 1) y luego simplificando)

(1/2)t² ln(t + 1) - (1/2) ∫ {[(t - 1)(t + 1)] /(t + 1)} dt - (1/2) ln(t + 1) =

(1/2)t² ln(t + 1) - (1/2) ∫ (t - 1) dt - (1/2) ln(t + 1) =

(partiendo)

(1/2)t² ln(t + 1) - (1/2) ∫ t dt + (1/2) ∫ dt - (1/2) ln(t + 1) =

(1/2)t² ln(t + 1) - (1/2) [1/(1+1)]t^(1+1) + (1/2)t - (1/2) ln(t + 1) + C =

(1/2)t² ln(t + 1) - (1/2)(1/2)t² + (1/2)t - (1/2) ln(t + 1) + C

concluyendo con:

∫ t ln(t + 1) dt = (1/2)t² ln(t + 1) - (1/4)t² + (1/2)t - (1/2) ln(t + 1) + C

II) ∫ [1 /(x lnx)] dx =

reescribamosla como:

∫ (1 /lnx) (1/x) dx =

sea:

lnx = t

diferenciemos ambos miembros:

d(lnx) = dt

(1/x) dx = dt

luego, substituyendo:

∫ (1 /lnx) (1/x) dx = ∫ (1 /t) dt =

ln | t | + C

siendo t = lnx, el resultado es:

∫ [1 /(x lnx)] dx = ln | lnx | + C

espero haber sido de ayuda..

¡Saludos!