¿Como saco el centro de gravedad de los 3/4,1/8, 1/16 y 1/n del circulo?
me pueden ayudar con esto por favor
necesito saber como sacar el centro de gravedad de los 3/4,1/8, 1/16 y 1/n del circulo sabiendo que el centro esta en el origen y tiene radio R por ejemplo tengo que el centro de gravedad de un semicirculo es (0; 4r/3pi)
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Hola
Supongamos un ángulo A en radianes.
Sabemos que el centroide se encuentra sobre el eje de simetría,
es decir, en la bisectriz del sector
Supongamos que el eje "x" se coloca en el eje de simetría,
con lo que queda un ángulo entre +À/2 y -A/2
Entonces
Area = int[r_0_a_R , a_de_-A/2_a A/2](r dr da)
Area = int[r_0_a_R , a_de_-A/2_a A/2](r dr da)
Area = (R^2/2) ( (A/2) - (-A/2))
Area = (1/2) A R^2
para A = 2 π ---> Area = π R^2 como corresponde
=========================================
Ahora, el centro de gravedad
Para un pequeño sector
rc * Area = int[r_0_a_R , a_de_-A/2_a A/2](r * r dr da)
rc * Area = int[r_0_a_R , a_de_-A/2_a A/2](r^2 dr da)
rc * Area = (R^3/3) ( (A/2) - (-A/2))
rc * Area = (1/3) A R^3
rc = (1/3) A R^3 / (1/2) A R^2
rc = (2/3) R
======================================
Para un sector circular en un ángulo a
xc = (2/3) r cos(a)
yc = (2/3) r sen(a)
La integración resulta
xc * Area = (1/2) R^2 int[r_0_a_R , a_de_-A/2_a A/2]((2/3) R cos(a) da)
xc * Area = (1/3) R^3 sen(a) [a_de_-A/2_a A/2]
xc * Area = (2/3) R^3 sen(A/2)
xc * (1/2) R^2 A = (2/3) R^3 sen(A/2)
xc = (2/3) R ( sen (A/2) / (A/2) )
===================================
yc * Area = (1/2) R^2 int[r_0_a_R , a_de_-A/2_a A/2]((2/3) R sen(a) da)
yc * Area = (1/3) R^3 (-cos(a)) [a_de_-A/2_a A/2]
yc * Area = 0
yc = 0 (Esperable por la simetría)
Resumen.
El centroide se encuentra sobre la bisectriz a la distancia del origen
xc = (2/3) R ( sen (A/2) / (A/2) )
Valores particulares
Semicírculo
A = π
xc = (2/3) R ( sen (π/2) / (π/2) ) = (4/3π) R
ubicado sobre la línea de 90°
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Cuadrante
A = π/2
xc = (2/3) R ( sen (π/4) / (π/4) ) = (4/3π) R (1/√2)
ubicado sobre la línea de 45°
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Para A = π/(2^n )
tenemos la fórmula general
sen(π/(2^n )) = √(1- √(1 - √(...).2))/2)
que se puede obtener en forma recursiva de
sen(w/2) = √(1 - cos(w))/2
cos(w/2) = √(1 + cos(w))/2
Saludos
La única manera es haciendo una integral pura y dura en dos dimensiones, aunque en este caso al ser simétrico respecto a un eje se reduce a una integral solo.