Verified answer

Veamos amigo....

Considera la funcion f(x) = e^x - x^e. Su derivada es

f'(x) = e^x - e*x^(e-1)

f'(x) = 0 que tendrá a lo sumo dos soluciones ya que f'(x) = 0 iimplica e^x = e*x^(e-1)

y es elemental que una exponencial y una potencia se cortan a lo sumo en 2 puntos.

Observar ahora que f'(1) = 0 and f'(e) = 0, así que x = 1 y x = e son los dos puntos de

intersección.

En general (Sale de teoría de la complejidad computacional) una función exponencial

crecerá a infinito más rápido que una función potencia, de manera que

f'(x) >= 0 para x > e. Esto implica que f es monótona creciente cuando x>e.

También se puede ver que f(e) =0.

Ahora viene la conclusión. Dado que Pi > e y f se incrementa cuandox > e, tenemos que f(Pi) > 0.

Por lo tanto f(Pi) = e^Pi - Pi^e > 0. Eso implica que e^Pi es mayor que Pi^e. (Q.E.D.)

Salu2

Demuestra que

e ln(pi)/pi < 1

demostrarlo es muy fácil pues, ciertamente,

e ln(pi) es menor que pi. Lo puedes verificar, si quieres, usando tu calculadora.

Como

e ln(pi)/pi < 1

entonces

e ln(pi) < pi,

pues es siempre pi mayor que 0.

Exponencía la expresión que sigue a "Como" para obtener la relación que buscas. Sólo necesitas el hecho de que la exponencial es una función monótona creciente.

QED (quod erat demonstrarum)

Simple, porque pi es mayor que e.