De acuerdo a la figura del pentágono respecto a la circunferencia el ángulo central es de 72º por lo tanto tenemos 5 triángulos isósceles cuyos lados iguales corresponden al radio del pentágono.
Para conocer la longitud del radio tenemos que dividir el triangulo isósceles en dos triángulos rectángulos de base 5cm y ángulo agudo 36º :
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olaz
el APOTEMA (Ap)esla distancia perpendicular del
centro de la circunferencia circunscrita al poligono
hacia punto medio de un lado
Luego se forma un triangulo rectangulo
hipotenusa: R, radio d la circunf. cirncunscrita
cateto: Ap, apotema
cateto: L/2 mitad del lado del poligono
por Teorema de Pitagoras
................ ________
Ap = (1/2)√(4R² - L² )
pero el lado del pentagono L5 es conocido
................_________
L5 = (R/2)√(10 - 2√5 )
reemplazo Lado=10
10 = (R/2)√(10 - 2√5 )
R = 20/√(10 - 2√5 )
Reemplaza la formula del lado en l formula
del apotema
.................______
Ap=(1/4)R√(6+√5)
Como ya se hallo el radio reemplazas
.....................................______
Ap=(1/4)[ 20/√(10-2√5)][√(6+√5)]
Ap= 5√(6+√5)/√(10-2√5)
Ok
bye
La fórmula de la apotema es:
a=1/2*√(4r^2 - l^2 )
Donde:
a=apotema
n=lados del polígono
r=longitud del radio
l=longitud del lado
Si el lado es de 10cm el radio será:
De acuerdo a la figura del pentágono respecto a la circunferencia el ángulo central es de 72º por lo tanto tenemos 5 triángulos isósceles cuyos lados iguales corresponden al radio del pentágono.
Para conocer la longitud del radio tenemos que dividir el triangulo isósceles en dos triángulos rectángulos de base 5cm y ángulo agudo 36º :
r=hipotenusa=5/sen36=8.51cm
Sustituyendo en la formula:
a=1/2*√(4(8.51)^2-(10)^2 )
a=1/2*√(289.44-100)
a=13.76/2
a=6.88cm
El truco esta en el triangulo rectangulo:
hipotenusa=longitud del radio=8.51cm
Angulo=mitad del angulo central=36º
cateto opuesto=mitad del lado del pentagono=5cm
cateto adyacente=longitud de la apotema=6.88cm
Haciendo una sencilla figura, nos percatamos que:
.........lado/2
... -------------= tangente 36º
......apotema
Con lo cual, despejando .apotema, sale:
....................lado/2
apotema=----------------
.................tangente 36º
(Donde lado, es naturalmente, el lado del pentágono). ¿Ves que fácil?. Saludos
Ayudare de dibujo para que lo entiendas.
Dibuja un pentágono, un radio y una apotema que van al mismo lado
Se te forma un triámgulo rectangulo cuyos ángulos agusdos miden 54º y 36º respectivamente. 54 el contiguo al lado del pentágono
apotema/5 = tan 54
apotema = 5 x tan 64 = 5 x1,376 = 6,680 cm aprox.