Quien me antecedió se equivocó al momnto de encontrar la diferencial. Y este problema también se puede resolver por identidades de funciones hiperbólicas.
Tenemos:
F = ∫cos(lnx) dx
Realizamos la siguiente sustitución algebraica:
lnx = u; entocnes e^u = x; y además dx = e^u du
sustituyendo:
F = ∫cos(lnx) dx
F = ∫e^u*cos(u) du
Integrando por partes; donde:
r = cos(u); entocnes dr = -sen(u) du
ds = e^u du; entonces s = e^u
F = e^u*cos(u) - ∫e^u*-sen(u) du
F = e^u*cos(u) + ∫e^u*sen(u) du
Nuevamente integrando por partes:
r = sen(u); entonces dr = cos(u) du
ds = e^u du; entonces s = e^u
F = e^u*cos(u) + ∫e^u*sen(u) du
F = e^u*cos(u) + (e^u*sen(u) - ∫e^u*cos(u) du)
F = e^u*cos(u) + e^u*sen(u) - ∫e^u*cos(u) du
como vimos inicialmente: F = ∫e^u*cos(u) du
Con lo cual la integral queda:
F = e^u*cos(u) + e^u*sen(u) - ∫e^u*cos(u) du
F = e^u*cos(u) + e^u*sen(u) - F
2F = e^u( cos(u) + sen(u) )
y F = (e^u/2)( cos(u) + sen(u) )
Restituyendo el valor original de x, nos queda:
===========================
F = (x/2)( cos(lnx) + sen(lnx) ) + c; donde c es la constante de integración
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∫ cos(lnx) dx =
integrémos por partes poniendo:
cos(lnx) = u → (1/x)[- sen(lnx)] dx = (- 1/x)sen(lnx) dx = du
dx = dv → x = v
obteniendo:
∫ u dv = v u - ∫ v du
∫ cos(lnx) dx = x cos(lnx) - ∫ x (- 1/x)sen(lnx) dx →
∫ cos(lnx) dx = x cos(lnx) + ∫ sen(lnx) dx →
hagámos una ulterior integración por partes, asumiendo:
sen(lnx) = u → (1/x) cos(lnx) dx = du
dx = dv → x = v
luego, integrando el restante integral, obtetemos:
∫ cos(lnx) dx = x cos(lnx) + [x sen(lnx) - ∫ x (1/x) cos(lnx) dx] →
∫ cos(lnx) dx = x cos(lnx) + x sen(lnx) - ∫ cos(lnx) dx →
ya que hemos conseguido la misma integral de ambas las partes, recójanla a mano izquierda como:
∫ cos(lnx) dx + ∫ cos(lnx) dx = x cos(lnx) + x sen(lnx) + c →
2 ∫ cos(lnx) dx = x cos(lnx) + x sen(lnx) + c →
∫ cos(lnx) dx = (1/2) [x cos(lnx) + x sen(lnx)] + c →
en fin, obtenemos:
∫ cos(lnx) dx = (1/2)x cos(lnx) + (1/2)x sen(lnx) + c
espero que sea de ayuda...
¡Saludos!
Quien me antecedió se equivocó al momnto de encontrar la diferencial. Y este problema también se puede resolver por identidades de funciones hiperbólicas.
Tenemos:
F = ∫cos(lnx) dx
Realizamos la siguiente sustitución algebraica:
lnx = u; entocnes e^u = x; y además dx = e^u du
sustituyendo:
F = ∫cos(lnx) dx
F = ∫e^u*cos(u) du
Integrando por partes; donde:
r = cos(u); entocnes dr = -sen(u) du
ds = e^u du; entonces s = e^u
F = e^u*cos(u) - ∫e^u*-sen(u) du
F = e^u*cos(u) + ∫e^u*sen(u) du
Nuevamente integrando por partes:
r = sen(u); entonces dr = cos(u) du
ds = e^u du; entonces s = e^u
F = e^u*cos(u) + ∫e^u*sen(u) du
F = e^u*cos(u) + (e^u*sen(u) - ∫e^u*cos(u) du)
F = e^u*cos(u) + e^u*sen(u) - ∫e^u*cos(u) du
como vimos inicialmente: F = ∫e^u*cos(u) du
Con lo cual la integral queda:
F = e^u*cos(u) + e^u*sen(u) - ∫e^u*cos(u) du
F = e^u*cos(u) + e^u*sen(u) - F
2F = e^u( cos(u) + sen(u) )
y F = (e^u/2)( cos(u) + sen(u) )
Restituyendo el valor original de x, nos queda:
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F = (x/2)( cos(lnx) + sen(lnx) ) + c; donde c es la constante de integración
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Éxitos!!!!