¿Cuál es la integral de Ln(1+x^2)?
La he intentado hacer pero el principal problema es el que hacer cn ese x^2, si tan solo fuera x pues sin ninfun problema llamaba a lo de entre ( )=t . Y luego podria derivar por partes pero de esta integral no se forma alguna de como hallarla.
Un saludo
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∫ln(1+X`2).dX=?
Acá tienes un producto de dos funciones, por tanto aplicas INTRGRACIÓN POR PARTES, que dice:
∫U.dV = U.V - ∫V.dU (fórmula 1)
Entonces, haces:
U = ln(1 + X^2)
dV = dX
Luego:
dU/dX = 1/(1 + X^2).d(X^2)/dX
dU/dX = [1/(1 + X^2)]. [2X]
dU/dX = (2X) / (1 + X^2)
dU = [(2X) / (1 + X^2)] . dX
dV = dX
∫dV = ∫dX
V = X
Entonces aplicas la fórmula 1, así:
∫U.dV = U.V - ∫V.dU (fórmula 1)
∫ln(1+X`2).dX= X. ln(1 + X^2) - ∫[X]. [(2X)/(1 + X^2)] . dX
∫ln(1+X`2).dX= X. ln(1 + X^2) - ∫[(2X^2) / (1 + X^2)] . dX
∫ln(1+X`2).dX= X. ln(1 + X^2) – 2. ∫[(X^2) / (1 + X^2)] . dX (ecuación 1)
Queda por integrar: ∫[(X^2) / (1 + X^2)] . dX. Esta integral presenta una FRACCCION IMPROPIA (ocurre cuando el grado del numerador es mayor o igual que el grado del denominador), en estos casos debe realizarse la división algebraica de los polinomios. Al realizarla obtienes:
[(X^2) / (1 + X^2)] = [1 – 1 / (X^2 + 1)]
Por tanto:
∫[(X^2) / (1 + X^2)] . dX =
=∫[1 - 1 / (1 + X^2)] . dX =
= ∫[1].dX - ∫{1 / (1 + X^2)]} . dX =
= ∫dX - ∫{1 / (1 + X^2)]} . dX =
= X - ∫{1 / (1 + X^2)]} . dX
Por tanto:
∫[(X^2) / (1 + X^2)] . dX = X - ∫{1 / (1 + X^2)]} . dX (ecuación 2)
Queda por realizar la integral:
∫{1 / (1 + X^2)]} . dX
Acá se tiene un denominador con un polinomio de la forma a^2 + Z^2, siendo:
a: un valor constante
Z: una variable
Como el polinomio tiene la forma: a^2 + Z^2, se recomienda el cambio de variable:
Z = a. tan(theta)
Por tanto:
dZ / d(theta) = d[a. tan(theta)] / d(theta)
dZ / d(theta) = a . d[tan(theta)] / d(theta)
dZ / d(theta) = a . [sec(theta)]^2
dZ= {a . [sec(theta)]^2}. d(theta)
Acá se tiene la expresión: 1 + X^2, entonces:
a = 1
Z = X
Como se hace el cambio:
Z = a. tan(theta)
Entonces:
X = 1. tan(theta)
X = tan(theta) (ecuación 3)
Asi que esta última integral queda:
∫{1 / [(1 + X^2)]} . dX = ∫{1 / (1 + [tan(theta)^2])} . { [sec(theta)]^2}. d(theta) =
= ∫{1 / (1 + [tan(theta)^2])} . { [sec(theta)]^2}. d(theta) =
= ∫{{ [sec(theta)]^2}/ (1 + [tan(theta)^2])} . d(theta)
Como las identidades trigonométricas fundamentales indican que
1 + [tan(theta)^2] = sec(theta)]^2
Entonces:
∫{1 / [(1 + X^2)]} . dX = ∫{1 / (1 + [tan(theta)^2])} . { [sec(theta)]^2}. d(theta) =
= ∫{{ [sec(theta)]^2}/ (1 + [tan(theta)^2])} . d(theta) =
= ∫{{ [sec(theta)]^2}/ [sec(theta)^2]} . d(theta) =
= ∫ d(theta) =
= theta
De la ecuación 3:
X = tan(theta)
Por tanto:
theta = ArcTan (X)
De donde:
∫{1 / [(1 + X^2)]} . dX = theta
Entonces:
∫{1 / [(1 + X^2)]} . dX = ArcTan (X)
Por tanto, la ecuación 2 se transforma así::
∫[(X^2) / (1 + X^2)] . dX = X - ∫{1 / (1 + X^2)]} . dX (ecuación 2)
∫[(X^2) / (1 + X^2)] . dX = X - ArcTan (X) (ecuación 3)
Reemplazando la ecuación 3 en la 1 se obtiene:
∫ln(1+X`2).dX= X. ln(1 + X^2) – 2. ∫[(X^2) / (1 + X^2)] . dX (ecuación 1)
∫ln(1+X`2).dX= X. ln(1 + X^2) – 2. [X - ArcTan (X)] + C
∫ln(1+X`2).dX= X. ln(1 + X^2) – 2. X – 2 . ArcTan (X) + C (Respuesta)