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Las utilidades resultan de vender los artículos producidos. Como el precio de venta se supone que es mayor al costo de producirlo, ahí está la ganancia.

Así, la función de utilidad U(x), siendo "x" el número de productos producidos y vendidos, se define como

U(x) = 20x - CT(x)

U(x) = 20x - (0,1x² + 10x + 50)

U(x) = 20x - 0,1x² - 10x - 50

U(x) = -0,1x² + 10x - 50

Para maximizar las utilidades U(x) debemos derivar e igualar a cero:

U'(x) = -0,2x + 10

U'(x) = 10 - 0,2x

10 - 0,2x = 0

10 = 0,2x

10 / 0,2 = x

50 = x

En x = 50 (con 50 unidades del producto) tenemos un punto crítico. Veamos si es un máximo o un mínimo, hallando la segunda derivada y evaluándola en x = 50:

U"(x) = [ U'(x) ] '

U"(x) = [ 10 - 0,2x ] '

U"(x) = -0,2

Para cualquier valor de "x" esta derivada es negativa, por tanto en x = 50 tenemos efectivamente un máximo. El valor de este máximo (es decir, la utilidad máxima) será:

U(x=50) = -0,1(50²) + 10(50) - 50

U(x=50) = -0,1(2500) + 500 - 50

U(x=50) = -250 + 500 - 50

U(x=50) = 200

La utilidad máxima será de $200, que se alcanza con 50 unidades del producto.