¿cuanto mide el lado del cuadrado mas grande que se puede armar siguiendo esta forma?
con fichas cuadradas blancas (B) y negras (n) todas iguales,se arman cuadrados de la siguiente forma: *un cuadrado de 1x1 esta formado por una ficha N
*un cuadrado 2x2 se forma bordeando el cuadrado 1x1 con fichas B
*un cuadrado 3x3 se forma bordeando el cuadrado 2x2 con fichas N
*un cuadrado 4x4 se forma bordeando el cuadrado 3x3 con fichas B.si se tienen 496 fichas B ¿cuanto mide el lado del cuadrado mas grande que se puede armar siguiendo esta forma?,¿cuantas fichas N se necesitaran?
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Las fichas añadidas son:
1B, 3N, 5B, 7N, 9B, …
Las blancas forman una progresión aritmética de primer término 1 y diferencia 4. Si se tienen 496 fichas la suma es:
496 = (1 + 1 +(n-1) 4 )/2 • n = (1 +2n – 2) • n = 2n^2 – n
O sea
2n^2 – n – 496=0
Y resolviendo la ecuación, n=16 ( la otra solución es negativa). Luego el último añadido es de an = a1+(n-1)d =1 + (16-1)•4 = 61 fichas y por tanto el lado es de 30 fichas blancas.
Las negras serían la suma de los 15 primeros términos de la progresión de primer término 3 y diferencia 4:
S = (3 + 3 +14•4)/2•15 = 465