hallamos los puntos críticos

f ' (x) = ln(x) + 1 = 0

ln(x) = -1

x = e^-1

donde x>0

entonces evaluamos la derivada en (0,e^-x) y (e^-x, + inf)

f ' {(0,e^-x)} < 0 entonces f es decreciente en este intervalo

f ' {(e^-x, + inf)} >0 entonces f es creciente en este intervalo

entonces x = e^-1 es un mínimo

hallamos los puntos críticos

f ' (x) = ln(x) + 1 = 0

ln(x) = -1

x = e^-1

donde x>0

entonces evaluamos la derivada en (0,e^-x) y (e^-x, + inf)

f ' {(0,e^-x)} < 0 entonces f es decreciente en este intervalo

f ' {(e^-x, + inf)} >0 entonces f es creciente en este intervalo

entonces x = e^-1 es un mínimo

https://www.youtube.com/watch?v=7rol1lS49Y0

mira el ejercicio 10 de este vídeo

¿Quizás este video te ayude https://www.youtube.com/channel/UC2nMfZHRRA09uWNWv...