¿De un cuadrado de 4 cm de lado, se cortan a las esquinas triángulos isosceles cuyos costados miden x.?
a) Escribe el area del octogono que resulta de la función x.
b) ¿Cual es el dominio de esta función?¿Y el recorrido?
ME PUEDEN AYUDAR MUCHAS GRACIAS ES URGENTILLO
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Hola, este es el esquema.
. . . . . . . .x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x
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. . . . x.| . .╱ . . . . . . . . . . .. . . . . . ╲ . . | . x
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. . . . . . .x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x
a) El lado del cuadrado es L = 4 cm. Su área es
A(cuadrado) = L² = (4 cm)² = 16 cm²
El área de cada triángulo isósceles es:
A(triángulo) = (x·x)/2 = x²/2
El área del octógono resultante es igual al área del cuadrado, menos el área de los 4 triángulos isósceles.
A(octógono) = A(cuadrado) - 4·A(triángulo)
A(octógono) = 16 cm² - 4·x²/2
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A(octógono) = 16 cm² - 2x²
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b) DOMINIO. Se tienen que cumplir las siguientes condiciones:
➀ Por ser "x" la medida de un lado tiene que ser positivo, o sea, x > 0
➁ El área de una figura geométrica es un número positivo, o sea (16-2x²)>0
➂ Para que la figura sea un octógono, la suma de los lados "x" de triángulos vecinos ubicados sobre un mismo lado del cuadrado, no puede superar los 4 cm, o sea 2x < 4
Estas tres condiciones se traducen en el siguiente sistema:
x > 0 . . . . . . . . . . . . ➊
16 - 2x² > 0 . . . . . . . .➋
2x < 4 . . . . . . . . . . . ➌
Resolvemos la inecuación ➋
-2x² > -16
x² < (-16)/(-2) . . . . Al pasar el (-2) dividiendo, se invierte el sentido de la desigualdad
x² < 8
√x² < √8 . . . . . . Raíz cuadrada en ambos miembros
|x| < 2√2 . . . . . .Propiedad √x² = |x|
-2√2 < x < 2√2
Resolvemos ➌
2x < 4
x < 4/2
x < 2
Por lo tanto, se tiene que cumplir :
x > 0
-2√2 < x < 2√2
x < 2
Estas tres condiciones se cumplen a la vez en el intervalo (0, 2). Por lo tanto,
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Dominio = (0; 2)
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RECORRIDO. El valor máximo del área del octógono se obtiene cuando el lado "x" del triángulo tiende a cero (sin llegar nunca a cero)
Lim A = Lim (16 - 2x²) = 16 - 2·0² = 16
x→0 . . .x→0
El valor mínimo del área del octógono se obtiene cuando el lado del triángulo tiende a 2 (sin llegar nunca a este valor)
Lim A = Lim (16 - 2x²) = 16 - 2·2² = 8
x→2 . . .x→2
Por lo tanto,
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Recorrido = (8; 16)
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Un saludo!!
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