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Hola

..

.............................n-1

a^n − b^n = (a − b)∑ (a^k) * (b ^(n-1-k))

..............................k=0

Veamos ejemplos

n = 1 (caso especial)

a^1 - b^1 = (a - b) * 1

n = 2

a^2 - b^2 = (a - b) (a^1 b^0 + a^0 b^1) = (a - b) (a + b)

n = 3

a^3 - b^3 = (a - b) (a^2 b^0 + a^1 b^1 + a^0 b^2) = (a - b) (a^2 + a b + b^2)

Nótese que tenemos 2 series de exponentes, uno para arriba y otro para abajo.

Ahora, la hipótesis inductiva

para todos los naturales hasta n

.............................n-1

a^n − b^n = (a − b)∑ (a^k) * (b ^(n-1-k))

..............................k=0

ó

a^n − b^n = (a − b)∑ [k_de_0_a_n-1] (a^k) * (b^(n-1-k))

ó

a^n − b^n = (a − b) (a^n-1 + a^n-2 b + ...... + a b^n-2 + b^n-1)

Presentamos

a^(n+1) - b^(n+1) = (a^(n+1) - a^n b + a^n b ) -

- (b^(n+1) - a b^n + a b^n)

a^(n+1) - b^(n+1) = (a^(n+1) - a^n b + a^n b -

- b^(n+1) + a b^n - a b^n)

a^(n+1) - b^(n+1) = ( (a^(n+1) - a^n b) + (a b^n - b^(n+1)) +

+ a^n b - a b^n )

a^(n+1) - b^(n+1) = (a^n(a - b)) + (b^n(a - b) ) +

+ a^n b - a b^n )

a^(n+1) - b^(n+1) = (a - b) ( (a^n + b^n) - a b (a^n-1 - b^n-1 ) )

Remplazamos por hipótesis inductiva con n cambiado al anterior n-1

a^(n+1) - b^(n+1) = (a - b) (a^n + b^n) +

+ a b ((a − b)∑ [k_de_0_a_n-2] (a^k) * (b^(n-2-k)))

a^(n+1) - b^(n+1) = (a - b) [ (a^n + b^n) + a b ∑ [k_de_0_a_n-2] (a^k) * (b^(n-2-k)) ]

a^(n+1) - b^(n+1) = (a - b) [ (a^n + b^n) + (a b) (a^n-2 + a^n-3 b + ....+ a b^n-3 + b^n-2 ) ]

a^(n+1) - b^(n+1) = (a - b) [ (a^n + b^n) + (a^n-1 b + a^n-2 b^2 + ....+ a^2 b^n-2 + a b^n-1 ) ]

a^(n+1) - b^(n+1) = (a - b) [ a^n + a^n-1 b + a^n-2 b^2 + ....+ a^2 b^n-2 + a b^n-1 + b^n ]

a^(n+1) - b^(n+1) = (a - b) [ ∑ [k_de_0_a_n] (a^k) * (b^(n-k)) ] ]

====================================================

q.e.d.

P.S. muy interesante...

El paso inductivo

a^(n+1) - b^(n+1) = (a - b) ( (a^n + b^n) - a b (a^n-1 - b^n-1 ) )

no lo conocía...

Saludos