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1) [x]=N, si N≤x<N+1

sumando un entero n

N+n≤x+n<N+n+1

sea M=N+n

M≤x+n<M+1

luego

[x+n]=M

[x+n]=N+n

[x+n]=[x]+n

2)[x]=n si n≤x<n+1

multiplicando por -1

-n-1<-x≤-n

si x es entero [-x]=-n=-[-x]

si x es no entero en -n-1<x<-n [-x]=-n-1

3) [x+y]=M

[x]=n si n≤x<n+1

[y]=m si m≤y<m+1

i) cuando n≤x<n+1/2 ; m≤y<m+1/2

n+m≤x+y<n+m+1

M≤x+y<M+1

[x+y]=M=n+m=[x]+[y]

ii) cuando n+1/2≤x<n+1 ; m+1/2≤y<m+1

n+1/2+m+1/2≤x+y<n+m+2

n+m+1≤x+y<(n+m+1)+1

[x+y]=n+m+1=[x]+[y]+1

Luego

[x+y]= [x]+ [y] ó [x]+[y]+1 segun como esten ubicados x e y en la recta numerica

4) [2x]=M

[x]=n si n≤x<n+1...a)

[x+1/2]=m si m≤x+1/2<m+1

sumando -1/2

m-1/2≤x<m+1/2...b)

sumando a) y b)

n+m-1/2≤2x<n+1+m+1/2

por transitividad

n+m≤2x<n+m+1

[2x]=n+m=[x]+[x+1/2]

del mismo modo para [3x] pero con intervalos en tercios

intentalo tu, ya tienes la idea