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la ecuacion de una circunferencia en el plano XY es x²+y²=R² de esta puedes despejar dos funciones y=y(x)

y1 = +raiz(R² - x²)

y2 = - raiz(R² - x²)

que corresponden respectivamente a la parte por encima del eje x, y por debajo, de un circulo centrado en el origen de coordenadas y de radio R. el área del circulo será dos veces el área de cualquiera de esos dos semicirculos. el área del semicirulo superior (por elegir uno) es el area comprendida entre la funcion y el eje x, entre x= - R y x=+R (ambos puntos en lso que y=0)

por lo tanto para calcular el área del semicirculo basta con integrar la funcion y1 entre -R y R

tenemos entonces que área del circulo = 2·INT(raiz(R² - x²)dx) entre [-R,R]

para integrar hacemos el cambio de variable, x=R·sin(t) , dx=Rcos(t)dt

quedandonos la integral = 2·INT(raiz(R² - R²·sin²(t))·Rcos(t)dt)=

=2·INT(raiz(R²(1 - sin²(t))·Rcos(t)dt) (sacamos factor comun a la R²)

=2·INT(R·raiz(1 - sin²(t))·Rcos(t)dt) (sacamos R² de la raiz como R)

=2·R²·INT(raiz(1 - sin²(t))cos(t)dt) (sacamos las R·R de la integral por ser constantes)

=2·R²·INT(cos(t)·cos(t)·dt)=2·R²·INT(cos²(t)dt) ( cos²t + sin²t = 1, cost=raiz(1-sin²t) )

ahora utilizamos la sigueinte relacion:

cos(2t)=cos²t - sin²t ( y la anterior) y llegamos a que

cos(2t)= cos²t - (1 - cos²t) = 2·cos²t - 1

y despejando tenemos que cos²t= 1/2·(cos(2t) + 1)

que metiendolo en la integral y eliminando el 2 de fuera con el 1/2 de dentro nos queda:

=R²·INT(cos(2t) + 1 dt) ( y para tener la derivada del sen(2t)=2cos(2t) multiplicamos y dividimos por 2

=1/2·R²·INT(2cos(2t) +2 dt) y ahora integrando directamente tenemos

=1/2·R²·[sin(2t) + 2t]

y ahora podemos desacer el cambio de variable para meter los limites de integracion de antes [-R,R]

o ponerselos en funcion de t, es decir

x=Rsin(t) por lo tanto cuando x=R

R=Rsin(t)

sin(t)=1

t=arcsin(1)=pi/2

y por otra parte cuando x= - R

utlizando el mismo razonamiento tenemos uqe

sin(t) = -1

t=arcsin(-1)= - pi/2

por lo que podemos integrar la funcion anterior entre [-pi/2 , pi/2]

1/2·R²·[sin(2t) + 2t]=

=1/2·R²·[sin(pi) + pi - sin(-pi) - (-pi)] = 1/2·R²·[ 0 + pi - 0 + pi] = 1/2·R²·(2·pi) = pi·R² y ala, ahi tienes la foruma del área de un circulo de radio R

Si partimos de que el perimetro es 2*pi*r, lo integramos respecto a r

int{2*pi*r dr}=

2*pi*int{r dr}=

2*pi*[(r^2)/2]=

pi*r^2

en esta pagina puedes encontrar barias formas para encontrar el area d eun circulo y por supuesto con integrales.

http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81rea_de_un_c%C3%...

Tambien una forma facil y practica es conociendo el perimetro que es P = 2*pi*r

si la integramos scariamos fuera de la integral las constantes osea el 2 y el pi y se integra con respecto a r que quedaria r^2/2 ....

A=2*pi*r^2/2 se eliminan los dos y nos queda A=pi*r^2

Si la función es de grado par, haz un cambio a coordenadas porlares, donde x=rcosθ; y=rsen θ; y r^2=x^2masy^2. θ va de 0 a 2pi y el radio r de 0 a (el valor determinado). En la integral coloca la función en función de r y θ q va multiplicada por una r (que sale del jacobbiano). Éxitos y disculpa el desastre, es que en esta compu no sé colocar los signos.