Verified answer

Hola

Supongo sabes sobre aritmetica modular, voy a denotar la congruencia por el signo de =.

Hay que probar que 2222^5555 + 5555^2222 = 0 mod 7.

Nota lo siguiente:

1) 2222 = 3 mod 7

Luego 2222^5555 = 3^5555 mod 7, de forma que hay que determinar 3^5555 mod 7.

Pero observa que 3^6 = 1 mod 7. Luego:

3^5555 = 3^(5550 + 5) = 3^(5550) * 3^5 = (3^6)^(925) * 3^5 = 1*3^5 = 3^5.

Finalmente 3^5 =5 mod 7 y por ende 3^5555 = 5 mod 7.

Por otro lado observa que:

2) 5555 = 4 mod 7

Luego 5555^2222 = 4^2222 mod 7 asi que basta calcular 4^2222 mod 7.

Nota que 4^3 = 1 mod 7 luego 4^2222 = 4^(2217 + 5) = 4^2217 * 4^5 = (4^739)^ 3 * 4^5 = 1^3 * 4^5 = 4^5.

Así 4^2222 = 4^5 mod 7. Pero 4^5 = 2 mod 7 y luego 4^2222 = 2 mod 7.

Dado que 2222^5555= 5 mod 7 y 5555^2222 = 2 mod 7 entonces por propiedades de la suma en la aritmetica modular se tiene:

2222^5555 + 5555^2222 = 5 + 2 = 7 = 0 mod 7 pues 7=0 mod 7!

Luego 2222^5555 + 5555^2222 = 0 mod 7 lo que implica que 7 divide a 2222^5555 + 5555^2222.

Saludos

2222^5555 + 5555^2222 = (317·7+3)^5555 + (793·7+4)^2222 = (7x+3)^5555+ (7y+4)^2222 =

[usando el binomio de Newton]=

[múltiplo de 7 + 3^5555] + [múltiplo de 7+ 4^2222] =

Por el pequeño teorema de Fermat a^(p-1) es congruente con 1 módulo p (si p es primo)

--> 3^6 ≡ 1 (mod 7) y 4^6 ≡ 1 (mod 7)

como 5555= 6·925+ 5 y 2222= 6·370 +2 ==>

3^5555 = 3^(6·925+ 5) = (3^6)^925 · 3^5 ≡ 1^925 · 3^5 (mod 7) ≡ 3^5 (mod 7) ≡ 243 (mod 7)

con 243= 34·7+ 5 --> 3^555 ≡ 5 (mod7)

4^2222 = (4^6)^370· 4^2 ≡ 16 (mod 7) ≡ 2 (mod 7) ==>

En definitiva, 2222^5555 + 5555^2222 = múltiplo de 7 + 3^5555 + 4^2222 =

múltiplo de 7 + 5 + 2 = múltiplo de 7 + 7 = múltiplo de 7

Saludos