¿derivacion implicita funcion de varias variables?
si tengo x^3*z + y^2 + - xy =0
seria como F (x,y,z)=0
si considero las siguientes combinaciones:
1) defino y=y(x) y z=z(x) tendria solo una variable independiente osea x
entonces podria calcular dy/dx y dz/dx?
2)si defino x=x(y) y z=z(y) tendria solo una variable independiente osea y
entonces podria calcular dy/dx y dz/dy?
3) defino x=x(z) y y=y(z) tendria solo una variable independiente osea z
entonces podria calcular dx/dz y dy/dz?
Ahora yo vi en los libros que sale F(x,y,z(x,y))=0 esta bien lo que hice anteriormente?
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Volviendo al caso anterior si tengo x^3*z + y^2 + - xy =0
me piden calcular dy/dx ,∂z/∂x ,∂z/∂y como se cuales son las variables dependientes y cuales las dependientes??
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Por lo que yo se no podes despejar una variable en funcion de otra como hiciste, sino que si la funcion cumple con las condiciones del teorema de la funcion implícita sabes que se puede despejar una variable en funcion de las otras dos.
Las condiciones que te pide el teorema para asegurarte que podes despejar una variable en funcion del resto es:
F sea de clase C^1 es decir que existan las derivadas y que sean continuas
F(P)=0 y dF/dz(P)!=0 (!= es distinto)
si la funcion cumple con esas tres cosas podes despejar a z es decir obtenes g(x,y)=z (si haces df/dy(P) y es distinto de cero podes despejar y, y asi sucesivamente)
En este caso se ve que no te piden en ningun punto particular
Calculas las derivadas parciales que son:
df/dx(x,y,z)=3x^2*z-y
df/dy(x,y,z)=2y-x
df/dz(x,y,z)=x^3
Como no tienen problemas en ningun lado vemos que son continuas entonces F es de clase C^1 asi que ya vamos bien con las condiciones del teorema
El teorema pide que F(P) sea cero pero como no tenemos punto F(x,y,z)=0 asi que lo cumple y por ultimo la derivada tiene que ser distinto de cero asiq nos fijamos en que punto se hacen cero las derivadas asi sabemos en que punto no se va a poder despejar esa variable en funcion de las otras.
Si x=0 sabemos que no podemos despejar a z en funcion de las otras.
Si x=2y no podemos despejar a y en funcion de las otras.
Si y=3x^2*z no podemos despejar a x en funcion de las otras.
No se si me olvido algun caso, despues revisa bien...
Si despejas z obtenes que F=(x,y,z(x,y)) que es lo mismo que F=(x,y,(-y^2+xy)/x^3)
Ahora del teorema sale una formulita que te va a ayudar a calcular las derivadas de la funcion implicita como en este caso z que es la siguiente
dz/dx(P)=-(df/dx(P))/(df/dz(P))
Entonces df/dx(P) y df/dz(P) ya las calculamos antes, luego
dz/dx(x,y)=-(3x^2*z-y)/(x^3)
Bueno intenta hacer las otras dos derivadas que se hacen exactamente igual, pk ya quede con la lengua afuera de tanto escribir, si no te salen decime.
Saludos!