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No; por Ruffini no ibas a poder resolverlo precisamente porque las raíces son complejas.

Fíjate en que los exponentes son tales que si hacemos el cambio de variable z^3 = x, lo convertimos en una ecuación de segundo grado:

z^3 = x

=> x^2 - 2x + 2 = 0

Resolvemos la ecuación de segundo grado y obtenemos:

x1 = 1 + i

x2 = 1 - i

Ahora deshacemos el cambio de variable para cada una de esas soluciones. Para ello tienes que saber sacar raíces cúbicas (o n-ésimas) de números complejos. Si no sabes, puedes encontrar información en Internet; por ejemplo el vídeo que pongo en la fuente.

x1 = 1 + i

= √2 (45º ----> módulo √2, argumento 45º

z = x^(1/3)

=> z1 = 2^(1/6) (15º

=> z2 = 2^(1/6) (135º

=> z3 = 2^(1/6) (255º

x2 = 1 - i

= √2 (315º

z = x^(1/3)

=> z1 = 2^(1/6) (105º

=> z2 = 2^(1/6) (225º

=> z3 = 2^(1/6) (345º

Si los ordenamos por ángulo:

z1 = 2^(1/6) (15º

z2 = 2^(1/6) (105º

z3 = 2^(1/6) (135º

z4 = 2^(1/6) (225º

z5 = 2^(1/6) (255º

z6 = 2^(1/6) (345º

Saludos.

z⁶ - 2z³ + 2 = 0 → let: y = z³

y² - 2y + 2 = 0

y² - 2y + 1 + 1 = 0

y² - 2y + 1 = - 1

(y - 1)² = - 1 → recall: i² = - 1

(y - 1)² = (± i)²

y - 1 = ± i

y = 1 ± i ← there are 2 possibilities

y₁ = 1 + i

y₂ = 1 - i

m = √(1 + 1) = √2 = 2^(1/2) ← this is the modulus of y₁ and y₂

The modulus of z is: (√2)^(1/3) = [2^(1/2)]^(1/3) = 2^(1/6)

First case: y₁ = 1 + i

tan(α) = 1/1 → α = π/4 ← this is the argument of y₁ → the argument of z is: (α/3) = π/12

y₁ = m.e^(i.α) ← this is the Euler's form

z₁ = 2^(1/6) * e^(i.π/12)

z₁ = 2^(1/6) * [cos(π/12) + i.sin(π/12)]

z₂ = 2^(1/6) * e^[(i.π/12) + (i.2π/3)]

z₂ = 2^(1/6) * e^(i.3π/4)

z₂ = 2^(1/6) * [cos(3π/4) + i.sin(3π/4)]

z₂ = 2^(1/6) * [- (√2)/2 + i.(√2)/2]

z₂ = 2^(1/6) * [(√2)/2] * (- 1 + i)

z₂ = 2^(1/6) * (√2) * (1/2) * (- 1 + i)

z₂ = 2^(1/6) * 2^(1/2) * 2^(- 1) * (- 1 + i)

z₂ = 2^[(1/6) + (1/2) - 1] * (- 1 + i)

z₂ = 2^(- 1/3) * (- 1 + i)

z₃ = 2^(1/6) * e^[(i.3π/4) + (i.2π/3)]

z₃ = 2^(1/6) * e^(i.17π/12)

z₃ = 2^(1/6) * [cos(17π/12) + i.sin(17π/12)]

z₃ = 2^(1/6) * [cos{(12π + 5π)/12} + i.sin{(12π + 5π)/12}]

z₃ = 2^(1/6) * [cos{(12π/12) + (5π/12)} + i.sin{(12π/12) + (5π/12)}]

z₃ = 2^(1/6) * [cos{π + (5π/12)} + i.sin{π + (5π/12)}]

z₃ = 2^(1/6) * [- cos(5π/12) - i.sin(5π/12)]

z₃ = - 2^(1/6) * [cos(5π/12) + i.sin(5π/12)]

Second case: y₂ = 1 - i

tan(α) = - 1/1 → α = - π/4 ← this is the argument of y₂ → the argument of z is: (α/3) = - π/12

y₂ = m.e^(i.α) ← this is the Euler's form

z₄ = 2^(1/6) * [cos(- π/12) + i.sin(- π/12)]

z₄ = 2^(1/6) * [cos(π/12) - i.sin(π/12)]

z₅ = 2^(1/6) * e^[(- i.π/12) + (i.2π/3)]

z₅ = 2^(1/6) * e^(i.7π/12)

z₅ = 2^(1/6) * [cos(7π/12) + i.sin(7π/12)]

z₅ = 2^(1/6) * [cos{(12π - 5π)/12} + i.sin{(12π - 5π)/12}]

z₅ = 2^(1/6) * [cos{(12π/12) - (5π/12)} + i.sin{(12π/12) - (5π/12)}]

z₅ = 2^(1/6) * [cos{π - (5π/12)} + i.sin{π - (5π/12)}]

z₅ = 2^(1/6) * [- cos(5π/12) - i.sin(5π/12)]

z₅ = - 2^(1/6) * [cos(5π/12) + i.sin(5π/12)]

z₆ = 2^(1/6) * e^[(i.7π/12) + (i.2π/3)]

z₆ = 2^(1/6) * e^(i.5π/4)

z₆ = 2^(1/6) * [cos(5π/4) + i.sin(5π/4)]

z₆ = 2^(1/6) * [cos{4π + π)/4} + i.sin{4π + π)/4}]

z₆ = 2^(1/6) * [cos{(4π/4) + (π/4)} + i.sin{(4π/4) + (π/4)}]

z₆ = 2^(1/6) * [cos{π + (π/4)} + i.sin{π + (π/4)}]

z₆ = 2^(1/6) * [- cos(π/4) - i.sin(π/4)]

z₆ = - 2^(1/6) * [cos(π/4) + i.sin(π/4)]

z₆ = 2^(1/6) * [(√2)/2 + i.(√2)/2]

z₆ = 2^(1/6) * [(√2)/2] * (1 + i)

z₆ = 2^(1/6) * √2 * (1/2) * (1 + i)

z₆ = 2^(1/6) * 2^(1/2) * 2^(- 1) * (1 + i)

z₆ = 2^[(1/6) + (1/2) - 1] * (1 + i)

z₆ = 2^(- 1/3) * (1 + i)

Resume:

z₁ = 2^(1/6) * [cos(π/12) + i.sin(π/12)]

z₂ = 2^(- 1/3) * (- 1 + i)

z₃ = - 2^(1/6) * [cos(5π/12) + i.sin(5π/12)]

z₄ = 2^(1/6) * [cos(π/12) - i.sin(π/12)]

z₅ = - 2^(1/6) * [cos(5π/12) + i.sin(5π/12)]

z₆ = 2^(- 1/3) * (1 + i)

…you can see that: z₅ = z₃

…you can see that: z₄ is the conjugate of z₁

Resume: 5 solutions

z = 2^(1/6) * [cos(π/12) + i.sin(π/12)]

z = 2^(1/6) * [cos(π/12) - i.sin(π/12)]

z = - 2^(1/6) * [cos(5π/12) + i.sin(5π/12)]

z = 2^(- 1/3) * (- 1 + i)

z = 2^(- 1/3) * (1 + i)

Si has oído hablar de las ecuaciones bicuadradas, esto es igual, pero "tricuadradas". Sólo tienes potencias de tres: 0, 3, 6.

Vamos a hacer un cambio de variable, llamamos t a z³. t=z³.

Entonces t²=z^6 (elevando al cuadrado los dos miembros).

Sustituimos en la ecuación de arriba y queda

t² - 2t + 2 =0

Ahora es una ecuación de segundo grado que se resuelve como siempre, con la fórmula

t = - b ± ...

y con esto obtendrás los dos posibles valores de t. Luego tendrás que hacerles las raíces cúbicas para hallar los de z que piden. Recuerda que la raíz cúbica tiene 3 soluciones en números complejos y no solo una como en los reales; pero hasta que llegues a las expresiones t=algo, es todo como siempre.