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La derivada primera de

ax³ + bx² + cx + d .................. ❶

es:

3ax² + 2bx + c .................. ❷

La derivada segunda de ❶ es la derivada primera de ❷,

6ax + 2b .................. ❸

Para que la ❸ sea igual a x – 1 como impone el enunciado, deber cumplirse que:

6ax + 2b = x – 1

Es decir, que se tendrá el siguiente sistema:

(. . .6a = 1

(. . .2b = – 1

Luego:

a = 1 / 6

b = – 1 / 2

Las funciones polinómicas

ax³ + bx² + cx + d cuya derivada segunda sea

x – 1

son:

(1/6) x³ – (1/2) x² + cx + d .................. ❹

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Como es una función polinómica de tercer grado, si

y ' (x₀) = 0 a la vez que y ' ' (x₀) > 0 .................. ❺

entonces en x₀ hay un mínimo local (o mínimo a secas, como dice el enunciado, pues necesariamente no hay máximos absolutos ni mínimos absolutos en una función polinómica de tercer grado). Con x₀ simbolizamos un punto singular, es decir, un punto en donde la derivada primera se anula. Calculemos dicho punto, igualando la ❷ a cero,

3ax₀² + 2bx₀ + c = 0

3(1/6) x₀² + 2(– 1/2) x₀ + c = 0

0,5 x₀² – x₀ + c = 0 .................. ❻

Ahora que pienso, no sé por qué me pongo a calcularlo, pues ya nos lo dan: es el 4 del enunciado.

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Dicen al final que en P(4, –1/3) es donde se ubica el mínimo (sólo hay uno). Pues bien, sustituyéndolo en ❹,

– 1/3 = (1/6) 4³ – (1/2) 4² + c4 + d

– 1/3 = 64/6 – (16/2) + c4 + d

– 1/3 = 32/3 – 8 + c4 + d

– 1/3 = 32/3 – 24/3 + c4 + d

– 1/3 = 8/3 + c4 + d

– 1/3 – 8/3 = c4 + d

– 9/3 = c4 + d

– 3 = c4 + d

d = – 3 – c4 .................. ❼

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4, abscisa de P, es uno de los dos puntos singulares de la función, en concreto, es el mínimo de la misma, luego sustituimos en ❺,

y ' (4) = 0 a la vez que y ' ' (4) > 0

& en ❸,

y ' ' = 6 • (1/6) • 4 + 2 • (– 1/2)

y ' ' = 4 – 1 = 3, efectivamente es > 0.

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Nos dice el enunciado que x₀ = 4. Bueno, nos lo dice indirectamente, pues si 4 es la abscisa del mínimo, entonces el punto que anula la derivada (dando el mínimo, no el máximo) es x₀ = 4. Luego sustituyendo en ❻,

0,5 • 4² – 4 + c = 0 .................. ❽

8 – 4 + c = 0

4 + c = 0 ⇒

c = – 4

Por otro lado, hemos visto, en ❼ que

d = – 3 – c4

Sustituyendo c = – 4 en ésta,

d = – 3 – (– 4) 4

d = – 3 + (+ 4) 4

d = – 3 + 16

d = 13

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Encontrar las funciones polinomicas ax³ + bx² + cx + d, cuya derivada segunda sea

(x – 1) ¿Cuál de ellas tiene un mínimo en el punto P(4, –1/3)?

Las funciones polinomicas ax³ + bx² + cx + d, cuya derivada segunda sea (x – 1) vimos que eran, según ❹,

(1/6) x³ – (1/2) x² + cx + d .................. ❾

También hemos visto que x₀ = 4, & que c = – 4, & tam-

bién que d = 13. Sustituyendo en ❾ ... perdón, la x no debe ser sustituida, el resto sí. Bueno, pues quedaría:

(1/6) x³ – (1/2) x² +(– 4) x + 13

y = (1/6) x³ – (1/2) x² – 4 x + 13 .................. ❿

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► Comprobaciones.

Parece ser que las soluciones (son dos preguntas), es, por un lado la ❹ (sin importar el valor de c & d), y, por otro lado, la ❿. Bueno sería comprobarlo, pues temo errores por mi parte.

Veamos:

a) Si derivo (1/6) x³ + (–1/2) x² + cx + d me

da 3(1/6)x² + 2(–1/2)x + c, y si derivo esto, me da x – 1. ✔

b) ¿Tiene la función

y = (1/6) x³ – (1/2) x² – 4 x + 13

derivada segunda x – 1 a la vez que tiene P(4, –1/3) por mínimo?

La primera pregunta es sí. ✔

La segunda pregunta se hace la comprobación con Ruffini (usaré decimales en vez de fracciones, a causa de la dificultad de escribir ecuaciones; además, esos decimales son periódicos salvo el 0,5; pero sólo pondremos el primer decimal del período):

. . .0,16....– 0,5.... – 4..... 13

. . . . . . . .0,6... . ..0,6. .– 13,3

4 )------------------------------------

. . .0,16...0,16.. – 3,3... – 0,3

Que, como hemos dicho, es – 0,3333333333.... en realidad.

Es decir,

– 1/3. ✔

Luego, efectivamente, la abscisa del mínimo es 4 y la

ordenada es – 1/3.

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Reconozco que no he sido suficientemente ordenado en el proceso, que se puede hacer más sencillo y directo; pero poco a poco hemos ido descubriendo los coeficientes que es de lo que se trataba. En todo caso, como mínimo habré dado ideas, ¿no? Además, si tienes dudas sobre algún punto del proceso o sobre alguna afirmación mía, me escribes un e-mail.

¡Ah!, adjunto gráfica, que me acaba de pasar un amigo. Desde aquí, muchas gracias a este amigo ¹ .

http://i30.tinypic.com/vesrjo.jpg

Saludos

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¹ Dice que te conoce, y que te manda un saludo de su parte, je... je...

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es: 3ax² + 2bx + c bueno yo te ayude aora ayudame a mi porfa http://ar.answers.yahoo.com/question/index?qid=200...