es un problemita de matematicas?
un buque pesquero se encuentra a una distancia de 2km mar adentro del pueblo mas cercano de una playa recta y desea llegar a otro punto de la playa a 6km del primero. suponiendo que el buque puede andar a una velocidad de 3km/h y estando en la playa la mercancia puede ser puede transportada en otro tipo de vehiculo a una velocidad de 5km/h ¿que trayectoria se debe seguir para que la mercancia llegue a su destino en el menor tiempo posible?
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Respuesta: el buque debe movilizarse en línea recta hasta un punto de la costa ubicado a 4,5 Km del destino. Y desde allí, la mercadería debe transportarse en el otro vehículo.
Tiempo Total = 1 hora 44 minutos
__________
Llamaremos "a" a la distancia inicial entre el buque y el pueblo más cercano (a = 2 km), y "b" a la distancia entre ese punto de la costa y el destino (b = 6 km).
Y llamaremos "x" a la distancia entre el pueblo -inicialmente- más cercano al buque y el punto donde el buque debe hacer el transbordo de la mercadería.
Podemos plantear que el tiempo TOTAL de transporte (llamando "Va" a la velocidad del barco y "Vb" a la velocidad del vehículo) es:
TT (x) = [raiz(x² + a²)]/Va + (b - x) / Vb
(NOTA: el numerador del primer sumando es la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos: "a" y "x")
Como queda planteada una función de "x", la derivaremos y buscaremos que valor de "x" es el que hace TT (x) mínimo:
TT ' (x) = x / [Va raiz(x² + a²)] - (1/Vb)
Planteamos TT ' (x) = 0. Entonces: Vb x = Va raiz(x² + a²) --->
(Vb x / Va) = raiz(x² + a²) ---> (Vb/Va)² x² = x² + a² --->
[(Vb/Va)² - 1] x² = a² ---> x² = a² / [(Vb/Va)² - 1] --->
x = a / raiz[ (Vb²/Va²) - 1] = 2 Km / raiz(25/9 - 1) = ¾ * 2 Km =
x = 1,5 Km
__________
Finalmente será:
Dist1 = raiz(2² + 1,5²) = 2,5 km
Tiempo1 = 2,5 Km / (3 Km/h) * (60 min/h) = 50 minutos
Dist2 = 6 Km - 1,5 Km = 4,5 km
Tiempo2 = 4,5 km / (5 Km/h) * ((60 min/h) = 54 minutos
Tiempo Total = Tiempo1 + Tiempo2 = 1 hora 44 minutos
...
Debe navegar en forma recta a un punto a 1.5 km del pueblo en la dirección del punto destino que está a 6km, o sea que descarga a 4.5 km de este último. Recién allà debe transportarlo en forma terrestre yendo por la playa, que es recta, en camión.
Esto le insumirá 1h 44 minutos de tránsito.
Demostración:
Imaginamos un par ordenado x-y.
El pueblo lo ubicamos en el origen O, y el barco a 2km de la costa verticalmente en el eje y, o sea con coordenadas B(0;2) (de ahora en más las unidades en los ejes son km).
El punto destino es un punto D(6;0) sobre el eje x, a 6km del origen.
Sean además (x;0) las coordenadas de un punto intermedio entre O y D sobre la playa, su distancia al origen es x.
Dado que para cada tramo (B-X el primero, y X-D el segundo) los mÃnimos tiempos se lograrán con las distancias más cortas entre c/punto, es obvio que la trayectoria son dos segmentos de recta.
ti = distancia i / velocidad i , para cada tramo i (i de subÃndice, no de imaginario!)
t = ( (4 + x^2)^(1/2) ) / 3 + (6-x)/5
donde en el primer término se aplicó Pitagoras para obtener la distancia B-X,
y en que 3 y 5 – denominadores – son las velocidades en km/h
Para saber cuál es el mÃnimo t podemos derivar respecto de x:
dt/dx = (1/3) (1/2) ((2^2 + x2)^(-1/2)) 2x + (-1)/5 = 0
desarrollando:
x / (3 (4 + x^2)^(1/2) ) = 1 / 5
x = (3/5) (4 + x^2)^(1/2)
x2 = (9/25) (4+x^2)
25 x2 = 9 (4+x^2) = 36 + 9 x^2
16 x^2 = 36
4x = 6
=> x = 1.5 (distancia en km desde el pueblo al punto de desembarco)
El tiempo empleado en tránsito (sin considerar la carga y descarga, por ejemplo) será:
t = ((4^2+1.5^2)^1/2) /3 + (6-1.5)/5 = 1.73 horas = 1 h 44 min, aprox.
El tiempo total es la suma del invertido por el barco mas el del otro vehÃculo.
Como el tiempo es el espacio recorrido partido por la velocidad:
T = (recorrido del barco)/3 + (recorrido del vehÃculo)/5
si el punto de atraque se encuentra a una distancia x del pueblo mas cercano, el recorrido del barco es raÃz(4+x2) y el del vehÃculo es 6-x
T= (6-x)/5 +raÃz(4+x2)/3 Derivando con respecto a x e igualando a = obtenemos que X = 6/4 = 1.5 Km a partir del pueblo cercano
el tiempo total es 1.73333 horas
debe ir en diagonal hasta 1.5 km del puinto mas cercano y a partir de ahi que la mercancia vaya en el otro vehiculo.
es facil de resolver solo tienes que plantear la ecuacion del tiempo que tarda en llegar en funcion de lo que se acerque al punto de destino, la ecuacion te queda algo asi:
[(2^2+x^2)^0.5]/3+(6-x)/5
si derivas respecto a x y lo iguales a 0 obtendras el maximo o minimo de de la funcion, que en este caso es el minimo x=1.5
para saber si lo que obtenias era el mao minimo de la fuincion volvias a derivar respecto a x y si el valor de la derivada segunda en el punto obtenido en la derivada primera (en este caso x=1.5) era positivo estabamos ante un maximo y en caso contrario ante un minimo
Has pensado que las velocidades no importan???????La lÃnea recta
El buque debe llevar la mercaderÃa al puerto más cercano (2 km) y después transportarla por vÃa terrestre hasta el destino final (raÃz de 32 km). En todo este recorrido, el tiempo será de 1 hora y 48 minutos.
Saludos!
se ha de acercar en una trayectoria perpendicular a la playa, o sea hacer mas corta la trayectoria mas lenta
Lo mas rápido es llevando la mercaderÃa en el vehÃculo que va a 5Km/h entonces tiene que recorrer los 6Km.
R; la trayectoria que debe seguir para que la mercaderÃa llegue a su destino en el menor tiempo posible es 6Km por la playa
La distancia entre el buque y el punto destino es de 6.32 km. a razón de 3 km/h le demorarÃa 2.11 horas llegar en forma directa.
Yendo al primer punto demora 0.67 horas, el resto del recorrido hecho por el otro vehÃculo es de 6/5 = 1.2 horas, con lo que da un total de 1.87 horas, por lo que es más rápido usar la segunda opción
debes primero irte a la playa mas cercana o sea recorrer los 2 km en lancha y despues que lo lleve el carro con esto te demorarias 1h y 52 min versus que lo lleves directamente al otro punto en que te demorarias 2h con 16 min.