Escalier en deux parties.?
: un menuisier désire construire un escalier composé de deux parties, l'une de 2,88 m de hauteur, l'autre de 3,52 m de hauteur.
il desire évidement construire des marches de même hauteur, compris entre 15 cm et 20 cm
Détermine la hauteur exacte de chaque marche et le nombre total de marches.
Merci d'avance.
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si tu veux des marches entieres, il faut que 288 ou 352 soit divisible par la hauteur de ta marche (hm)
donc hm qui est entre 15 et 20 ne peut pas prendre n'importe quelles valeurs
par exemple 20 est impossible car les multiples de 20 se terminent toujours par 0
tu testes les autres valeurs, et tu verra que tu n'auras pas vraiment de choix...
ensuite tu divises 288 et 352 par le hm que tu auras trouvé
et c'est fini
Il faut que la hauteur des marches divise à la fois 288 cm et 352 cm.
Donc qu'elle soit un diviseur du PGCD de 288 et 352.
=> Etape 1: trouver le PGCD de 288 et 352
La hauteur des marches doit être comprise entre 15 et 20.
=> Etape 2: chercher quel diviseur du PGCD vérifie cette propriété. On divise le PGCD par 1, puis par 2, puis par 3 etc jusqu'à trouver une solution
Reste ensuite à compter les marches
=> Etape 3: diviser la hauteur de l'escalier par la hauteur des marches
On doit trouver comme réponse 40 marches
Vous devez donc rechercher un multiple commun à 288 et 352.
= 288
= 2 * 144
= 2 * 12 * 12
= 2 * (2 * 2 * 3) * (2 * 2 * 3)
= 2 * 2 * 2 * 3 * 2 * 2 * 3
= 2^5 * 3^2
= 2^5 * 9
= 352
= 2 * 176
= 2 * 2 * 88
= 2 * 2 * (2 * 2 * 2 * 11)
= 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 11
= 2^5 * 11
â le PCGD est 2^5 = 32 â mais 32 n'est pas compris entre 15 et 20
Vous prenez alors 2^4 = 16 â et 16 est compris entre 15 et 20
288 = 2^5 * 9
288 = 2^4 * 2 * 9
288 = 16 * 18 â pour l'escalier de 2,88 m, vous aurez 18 marches de 16 cm
352 = 2^5 * 11
352 = 2^4 * 2 * 11
352 = 16 * 22 â pour l'escalier de 3,52 m, vous aurez 22 marches de 16 cm
….ce qui vous donne donc : 18 + 22 = 40 marches
Connaissez-vous Euclide pour rechercher le PGCD. Voici la méthode qui parle d'elle même :
352/288 = 1,22 â vous gardez 1 â 1 * 288 = 288 â reste : 352 - 288 = 64
288/64 = 4,5 â vous gardez 4 â 4 * 64 = 256 â reste : 288 - 256 = 32
64/32 = 2 â vous gardez 2 â 2 * 32 = 64 â reste : 64 - 64 = 0
On conserve alors 32. â c'est plus rapide que de décomposer comme je l'ai fait au début, car un jour vous pourrez peut être tomber sur des nombres plus grands que 288 et 352, et surtout moins évident à décomposer.
Une fois que vous avez le PGCD de 32, vous regardez s'il convient à votre condition, c’est-à -dire compris entre 15 et 20, puis vous poursuivez.
à titre d'exercice, supposons que vous ayez eu à rechercher le PGCD de 1053 et de 1755.
Vous appliquez le même principe : vous prenez le plus grand que vous divisez par le plus petit, puis vous stoppez vos calculs quand le reste vaut 0.
1755 divisé par 1053 = 1,666 â on garde 1 (1 * 1053) â reste : 1755 - 1053 = 702
1053 divisé par 702 = 1,5 â on garde 1 (1 * 702) â reste : 1053 - 702 = 351
702 divisé par 351 = 2 â on garde 2 (2 * 351) â il reste : 702 - 702 = 0
On conserve alors 351.
1053 est donc divisible par 351 â 1053/351 = 3
1755 est donc divisible par 351 â 1755/351 = 5