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Hola: a mi también me parece interesante la pregunta,

yo pregunté dos cosas:

1) probar que existen infinitos pares de reales 0<x<y tales que:

x^y = y^x

2) Probar que si x^y = y^x , ambos naturales x<y entonces la única solución es x=2 y=4

Respecto a tu pregunta:

Define

f(x)=x^2 -2^x , x>0 es continua

f(1)=1-2=-1<0

f(3)=9-8=1>0

Luego por el teorema de Bolzano(valor medio) existe un c en(1,3) tal que f(c)=0

Es decir

f(c)=c^2 -2^c=0

c^2=2^c

Te dejo los links de las preguntas(casi nunca pregunto sin conocer la respuesta):

http://ar.answers.yahoo.com/question/index;_ylt=At...

http://ar.answers.yahoo.com/question/index;_ylt=Aq...

Saludos.

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Pd: no entiendo lo último de que tres números satisfacen, te referís a reales?

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Edito:parece que tenés razón

Supongo que debe ser en los intervalos:

(-1,0); (1,3); (3,5) te los da Bolzano

Lo que hay que hacer es un estudio de la función en cada intervalo,

si x>0

x^2 =2^x

es equivalente a

x=2^(x/2)

y estudiamos g(x)=x-2^(x/2)

g'(x)=1-(ln2/2)*2^(x/2)

en (1,3) es siempre positiva

Luego es creciente y sólo corta al eje x a lo sumo una vez (lo hace por Bolzano)

en(3.5,+oo) es decreciente (g'(x)<0)

Usé fuertemente que 2^(x/2) es creciente y si C<0

C*2^(x/2) +K es decreciente luego máximos y mínimos se encuentran en los extremos.

Nos falta estudiar :

x^2=2^x, Si x<0

pero equivale a:

y^2=(1/2)^y , con y>0

Luego

y=(1/2)^(y/2) , y>0

Si h(y)=y-(1/2)^(y/2)

la derivada es:

h'(y)=1-ln(1/2)*(1/2)^(y/2) =

1+(ln2/2)*(1/2)^(y/2)>0 para todo y>0

Luego h es creciente para todo y>0

Por Bolzano sabíamos que hay un cero en (0,1)

Y así se completa la prueba, la verdad es que me imaginaba que eran sólo dos cortes.

Saludos nuevamente.