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x³ + y³ = 6xy

Derivamos implícitamente con respecto a x:

3x² + 3y²∙y' = 6(xy' + y)

Para determinar aquellos puntos de la gráfica donde la pendiente de la recta tangente es igual a 1, reemplazamos en esta última ecuación y' = 1. Se tiene

3x² + 3y² = 6(x + y), o bien x² + y² = 2(x + y)

Tendremos entonces que aquellos puntos donde se tiene pendiente de la recta tangente igual a 1, satisfacen las ecuaciones

x³ + y³ = 6xy

x² + y² = 2(x + y)

¿Qué toca hacer ahora? Bueno, una alternativa es factorizar x³ + y³, para obtener

x³ + y³ = (x + y)∙(x² - xy + y²)

= (x + y)∙(x² + 2xy + y² - 3xy)

= (x + y)∙((x + y)² - 3xy)

y reemplazar eso en la primera ecuación, y por otro lado, utilizar que

x² + y² = x² + 2xy + y² - 2xy = (x + y)² - 2xy

para reemplazarlo en la segunda. Se tendrá entonces

(x + y)∙((x + y)² - 3xy) = 6xy

(x + y)² - 2xy = 2(x + y)

Y entonces hacemos un cambio de variables; llamamos s = x + y, t = xy, con lo que quedará

s∙(s² - 3t) = 6t

s² - 2t = 2s,

o bien,

s³ - 3st = 6t,

s² - 2t = 2s. . . . . . . (*)

Multiplicamos arriba por 2, y abajo por -3s, para obtener

2s³ - 6st = 12t,

-3s³ + 6st = -6s

Sumando las dos cosas, se tiene

-s² = -6s + 12t, lo que implica que

12t = 6s - s².

Tomamos entonces segunda ecuación (*) multiplicada por 6:

6s² - 12t = 12s

Y reemplazamos lo anterior para obtener

6s² - (6s - s²) = 12s

lo que implica

7s² - 18s = 0, que factorizado es

s(7s - 18) = 0

Esto implica s = 0, s = 18/7. Si s = 0, entonces t = 0 y esto implicaría x = y = 0, que al reemplazarlo en la ecuación de derivadas 3x² + 3y²∙y' = 6(xy' + y) la desaparece y no permite deducir que y' = 1. Por lo tanto ese punto se descarta. Ahora, si s = 18/7, entonces se tiene

(18/7)(18/7 - 2) = 2t,

(18/7)(2/7) = 2t,

t = 18/49

Entonces x + y = 18/7, xy = 18/49. Entonces

x(18/7 - x) = 18/49, y esto provee el polinomio cuadrático

x² - (18/7)x + 18/49 = 0, o bien

(7x)² - 18(7x) + 18 = 0.

Su discriminante es 18(18 - 4) = 18∙12 = 3³2³, de manera que su raíz es 6√6. Esto implica que

x = (9 + 3√6)/7, x = (9 - 3√6)/7, y de ahí sacas los respectivos valores de y. Con la ecuación punto-pendiente, tomando la pendiente igual a 1, sacas las ecuaciones de las rectas.

Saludos.

Espera pienso un poco.