Hallar el lado y los vertices interiores de un cuadrado?
Inscribir un cuadrado dentro del área limitada por las parábolas cuya ecuaciones son x²+6y-39=0 y 4x²-9y-15=0
El cuadrado está inscrito dentro de la intersección de las 2 parábolas
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∫ √ ¶ ° ¹ x² ³ ⁴ ª ⁿ ← → ⇒ ∀ ∃ ∇ ∂ ∑ ∞ µ ß ± ≅ ≈ ≠ ≤ ≥
½ ⅓ ⅔ ¼ ¾ ⅛ ⅜ ⅝ ⅞
α β γ δ ε ζ η θ λ μ ξ ρ Σ σ φ ψ ω ϒ Θ Δ Ω Φ
↑ ↓ ↔ ↵ ⇐ ⇑ ⇓ ⇔ || ∅ ∈ ∉ ∋ ∝ ∏ ∠ ∧ ∨ ∩ ∪ ⊂ ⊃ ⊆ ⊇
∴ ∵ ∼ € ¥ ⊤ ⊥ P∧¬ ℕ ℤ ℚ ℝ ℂ
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Respuesta. El lado del cuadrado buscado mide "4,7376" y sus vértices son:
(2.3688, 0.8272)
(2.3688, 5,5648)
(-2.3688, 0.8272)
(-2.3688, 5,5648)
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Hola! wsabalzanegrete. Re-escribamos las dos parábolas:
x² + 6y - 39 = 0 → x² = 6.(39/6 - y) → x² = -6.[y - (13/2)]
4x² - 9y - 15 = 0 → 4x² = 9.(y + 15/9) → x² = (9/4).[y + (5/3)]
Puedes advertir que:
a) Ambas tienen sus ejes de simetría paralelos al eje "y".
b) El vértice de una está en [0, (13/2)] mientras que el de la otra está en [0, (-5/3)].
c) Las dos observaciones anteriores nos indican una total simetría del problema respecto del eje "y".
Ello lo corroboramos viendo lo que te he dejado en el enlace: http://img526.imageshack.us/ img526/4999/demo277sc0.gif
(por problemas de edición del YR, quita el espacio que hay entre "http://img526.imageshack.us/%22 e "img526/4999/demo277sc0.gif")
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Volvamos a re-escribir las dos parábolas anteriores y considera el lado de longitud "2h" ("h" a cada lado del eje "y") que he dibujado:
x² + 6y - 39 = 0 →
y1 = (39 - x²)/6 (i)
4x² - 9y - 15 = 0 →
y2 = (4x² - 15)/9 (ii)
Comencemos a "aprovechar" la simetría del problema.
Considera la abscisa "x = h". Queremos determinar el valor de "h" donde se cumpla:
y1(h) - y2(h) = 2h (iii)
El valor de "h" que satisfaga (iii) será la mitad del lado del cuadrado que buscamos. Entonces:
y1(h) - y2(h) = 2h →
(39 - h²)/6 - (4h² - 15)/9 = 2h → [Multiplicamos x 18]
3.(39 - h²) - 2.(4h² - 15) = 36h →
11h² + 36h - 147 = 0 (iv)
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De (iv) obtenemos:
h = (44,0568 - 18) / 11 = 2,3688 →
2h = 4,7376
y1(2,3688) = 5,5648
y2(2,3688) = 0,8272
Vértices:
(2.3688, 0.8272)
(2.3688, 5,5648)
(-2.3688, 0.8272)
(-2.3688, 5,5648)
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Saludos
...
¡RESPUESTA EN CONSTRUCCIÃN!
La parábola x^2 + 6y - 39 = 0
=======================
Vértice: (0,y);
6y = 39
y = 39/6 = 13/2
Se abre hacia abajo.
La parábola 4x^2 - 9y - 15 = 0
========================
Vértice: (0,y)
9y = -15
y = -15/9 = -5/3
Se abre hacia arriba.
Intersección
==========
x^2 + 6y - 39 = 0 . . . 4x^2 + 24y - 156 = 0
4.x^2 -9y -15 = 0 . . .-4x^2 + 9y + 15 = 0
33y = 141
y = 141 / 33 = 47 / 11
Marca un vértice del cuadrado. Los otros vértices los tenemos por simetrÃa. Elijo el vértice superior derecho.
Llamemos (a,b) a las coordenadas de este punto.
a es la distancia al eje Y, y coincide con la mitad del lado.
Para que tengamos un cuadrado, la distancia a debe ser igual a (b-47/11). La recta y = 47 / 11 es otro eje de simetrÃa.
(a,b) es tal que a=b-47/11
(a, b) = (a, a+47/11)
Este punto pertenece a la primera parábola:x^2 + 6y - 39 = 0
a^2 + 6.(a + 47 / 11) - 39 = 0
a^2 + 6a + (6.47/11 - 39) = 0
Resolviendo la ecuación de 2ºgrado, tomando la solución positiva tenemos el valor de a.
Vértices
========
(a, a+47/11)
(-a, a+47/11)
(a, 47/11-a)
(-a, 47/11 - a)
.