Verified answer

∫ ∮ ∯ √ ∛ ∜ ¶ π ° ¹ ² ³ ⁴ ª ⁿ ₁ ₂ ← → ⇒ ∀ ∃ ∄ ∇ ∂ ∑ ∞ µ ß

± ∓ ≅ ≈ ≠ ≤ ≥ ≡ ≢ Я ¢ © ® ≪ ≫ € № % ‰ §

½ ⅓ ⅔ ¼ ¾ ⅛ ⅜ ⅝ ⅞ • ❶ ❷ ❸ ❹ ❺ ❻

Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ρ Σ Τ Υ Φ Χ Ψ Ω

α β γ δ ε ζ η θ ι κ λ μ ν ξ ο π ρ σς τ υ φ χ ψ ω

↑ ↓ ↔ ↵ ⇐ ⇑ ⇓ ⇔ | ∅ ∈ ∉ ∋ ∝ ∏ ∠ ∧ ∨ ∩ ∪ ⊂ ⊃ ⊆ ⊇

∴ ∵ ∼ € ¥ ⊤ ⊥ ∧¬ ℕ ℤ ℚ ℝ ℂ

____________________

Hola! wsabalzanegrete.

Aplicaré un principio jurídico "básico": - "Lo que no está prohibido, está permitido." Responderé a tu consulta sobre esa base... (je).

____________________

1) x^[a^(a)]

"a" es una constante positiva (para que tenga sentido a^a). La llamaremos "b". O sea:

b = a^a

Derivemos:

D{ x^[a^(a)] } = D[x^b] = b•x^(b-1) = (a^a)•x^[(a^a) - 1]

____________________

2) a^(a^a)

"a" es una constante. Luego "a^(a^a)" es constante también.

Y la derivada de una constante es nula. Es decir:

D[ a^(a^a) ] = 0

____________________

3) a^(a^x)

Consideremos la función: y(x) = a^f(x)

Apliquemos logaritmo natural a ambos miembros:

Ln y = f(x) • Ln(a) ... (1)

(Nota que "Ln(a)" es una constante)

____________________

Deriva ambos miembros de (1): y' / y = Ln(a) • f ' (x) →

y ' = y • Ln(a) • f ' (x)

Y recordando la definición de "y" quedará:

D[a^f(x)] = a^f(x) • Ln(a) • f ' (x) ... (2)

____________________

Analicemos -ahora- la expresión planteada: D[a^(a^x)]

Comparando esta expresión con (2) vemos que:

f(x) = a^x.

Entonces:

D[a^(a^x)] = [de (2)] = a^(a^x) • Ln(a) • D[a^x] ... (3)

Comparando D[a^x] con (2) vemos que: f(x) = x. De modo que:

D[a^x] = [de (2)] = a^x • Ln(a) • 1 →

D[a^x] = Ln(a) • a^x ... (4)

____________________

Finalmente, de (4) en (3):

D[a^(a^x)] = a^(a^x) • Ln(a) • D[a^x] = a^(a^x) • Ln²(a) • a^x

Resultado que -también- podemos expresarlo como:

D[a^(a^x)] = a^[x + (a^x)] • Ln²(a)

____________________

Espero que lo hayas disfrutado.

____________________

COMENTARIO. Sólo te faltó consultar por:

D[a^(x^a)]

Pero como de esta expresión comparada con (2) resulta:

f(x) = x^a

te resultará sencillo resolverla aplicando aquella relación.

____________________

Saludos

...