Verified answer

Hola.

Mira, estás buscando en verdad 2 ecuaciónes, entonces vámonos por pasos.

La de la circunferencia inscrita es la que va a pasar por los vértices del triángulo. Por lo tanto ya tienes dos valores (las coordenadas de cada vértice) para sustituir en tres ecuaciones (una por cada vértice). Si tomas en cuenta que la fórmula general de la circunferencia es

(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2

(siendo (h,k) el centro de la circunferencia), sólo es cosa de sustituir valores.

((-12)-h)^2 + ((-9)-k)^2 = r^2 (1)

((-4)-h)^2 + (15-k)^2 = r^2 (2)

(6-h)^2 + ((-15)-k)^2 = r^2 (3)

Como r^2=r^2

((-12)-h)^2 + ((-9)-k)^2 = ((-4)-h)^2 + (15-k)^2 (4)

((-12)-h)^2 + ((-9)-k)^2 = (6-h)^2 + ((-15)-k)^2 (5)

Si resuelves la ecuación (4) te queda lo siguiente:

(4) ((-12)-h)^2 + ((-9)-k)^2 = ((-4)-h)^2 + (15-k)^2

144 + 24h + h^2 + 81 + 18k + k^2 = 16 + 8h + h^2 + 225 -30k + k^2

o lo que es lo mismo

h^2 - h^2 + 24h - 8h + k^2 - k^2 + 18k + 30k + 144 + 81 - 16 - 225 = 0

y sumando

16h + 48k -16 = 0 (6)

Repites el proceso con la ecuación (5)

(5) ((-12)-h)^2 + ((-9)-k)^2 = (6-h)^2 + ((-15)-k)^2

144 + 24h + h^2 + 81 + 18k + k^2 = 36 - 12h + h^2 + 225 + 30k + k^2

o lo que es lo mismo

h^2 - h^2 + 24h + 12h + k^2 - k^2 + 18k - 30k + 144 + 81 - 36 - 225 = 0

y sumando

36h - 12k - 36 = 0 (7)

Ahora tienes un sistema de dos ecuaciones ((6) y (7)) con dos incógnitas (h y k). Los puedes resolver con el método que más te guste, yo voy a sustituir la k.

(7) 36h - 12k - 36 = 0

despejando k

k= 3h - 3

y sustituyendo su valor en la ecuación (6)

16h + 48k -16 = 0

16h + 48(3h - 3) - 16 = 0

16h + 144h - 144 -16 = 0

160h - 160=0

160h = 160

h = 1

Ahora sustituyes el valor de h en cualquiera de las ecuaciones lineales por ejemplo, en la (5), y te queda lo siguiente

(5) 16h + 48k -16 = 0

16(1) + 48k - 16 = 0

16 + 48k - 16 = 0

48k = 0

k = 0

Ya tienes las coordenadas del centro que es (1,0)

Para obtener el radio, solamente calculas la distancia entre el centro y cualquier punto, por ejemplo, A

r = (raíz)((1-(-12))^2 +(0-(-9)^2)

r = (raíz) ((13)^2 + (-9)^2)

r = (raíz) (169 + 81)

r = (raíz) (250)

Ya que tienes el centro y el radio, sustituyes sus valores en la fórmula general y te queda lo siguiente:

(x-1)^2 + (y-0)^2 = ((raíz)(250))^2

(x-1)^2 + y^2 = 250

Esa es la primera circunferencia, la inscrita, para la segunda tienes que llevar a cabo un proceso parecido, pero los puntos que van a estar sobre la circunferencia no son los vértices del trángulo, sino los puntos medios de sus lados.

Para obtener los puntos medio haces lo siguiente:

Pm = ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2)

Pm1 = (((-12)+(-4))/2, ((-9)+(15))/2) = (-8,3)

Pm2 = (((-12)+6)/2, ((-9)+(-15)/2) = (-3,-12)

Pm3 = (((-4)+6)/2, (15+(-15))/2) = (1,0)

Haces lo mismo que hiciste para la circunferencia pasada

(-8-h)^2 + (3-k) = r^2 (1)

(-3-h)^2 + (-12-k)^2 = r^2 (2)

(1-h)^2 + (0-k)^2 = r^2 (3)

r^2 = r^2

(1-h)^2 + k^2 = (-8-h)^2 + (3-k)^2 (4)

(1-h)^2 + k^2 = (-3-h)^2 + (-12-k)^2 (5)

(4) (1-h)^2 + k^2 = (-8-h)^2 + (3-k)^2

1-2h+h^2 + k^2 = 64+16h+h^2 + 9-6k+k^2

h^2-h^2 -2h-16h +k^2-k^2 +6k +1-64-9 = 0

-18h +6k -72 = 0 (6)

(5) (1-h)^2 + k^2 = (-3-h)^2 + (-12-k)^2

1-2h+h^2 + k^2 = 9 +6h +h^2 + 144 +24k+k^2

h^2-h^2 -2h-6h +k^2-k^2 -24k +1-9-144 = 0

-8h -24k-152 = 0 (7)

h= -3k - 19

(6) -18h +6k -72 = 0

-18(-3k-19) +6k-72=0

54k + 342 +6k -72 = 0

60k = -270

k = -9/2

-18h+6(-9/2)-72 = 0

-18h-27-72 = 0

h= -11/2

r = (raíz)(((-11/2)-1)^2 + ((-9/2)-0)^2)

r = (raíz)((-13/2)^2 + (-9/2)^2)

r = (raíz)(169/4 + 81/4)

r = (raiz)(125/2)

(x-(-11/2))^2 + (y-(-9/2))^2 = ((raíz)(125/4))^2

(x+11/2)^2 + (y+9/2)^2 = 125/4

Y esa es la segunda circunferencia

Espero haberte sido de ayuda, y no haberte confundido más.

Suerte

Solo recuerda que la ecuacion de la circunsferencia es:

(x - a)² + (x-b)² = r²

donde (a,b) es el centro de la circunsferencia y r el radio.

Ahora, solo debes hallar el centro de la circunsferencia, que es el punto de corte de las mediatrices del triangulo (ya que el centro debe equidistar de los vertices). Para ello debes escribir la ecuacion de dos de las mediatrices (la tercera no hace falta porque se va a cortar en el mismo punto) e intersectarlas. Eso te dará el punto (a,b). Luego debes calcular la distancia del circuncentro hacia cualquiera de los vertices y ese es el radio.