hallar la ecuacion y los elementos de la parabola, vrtice,foco,tangente en V, longitud de LR (latus rectun)?
Dado el foco F(-5,-1) y la directriz D´D" : x + y - 2 = 0, hallar la euacion de la parábola y sus elementos
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La parábola buscada está descrita por la siguiente ecuación:
x² + y² + 48 - 2xy + 24x + 8y = 0
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Te he dejado en el enlace http://img210.imageshack.us/img210/3034/demo256io4... una gráfica que contiene todos los elementos que intervienen en el problema. A saber:
a) La parábola
b) El foco F(-5, -1)
c) La directriz "x + y - 2 = 0"
d) La ecuación del segmento que une al foco con la directriz, o sea: "y = x + 4"
e) La ecuación del LR, o sea: "x + y + 6 = 0"
Veamos como determinar cada uno de estos elementos.
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Dada la ecuación de una recta de la forma "ax + by + c = 0", la destancia de un punto P(u, v) a la recta se calcula:
Dist = | a.u + b.v + c | / √(a² + b²) (i)
Interesa la definición (i) puesto que la parábola buscada estará constituída por el conjunto de puntos de coordenadas (x, y) tales que su distancia a la recta directriz sea igual a su distancia al foco. En fórmulas:
DIST[ (x,y), F(-5,-1) ] = DIST[ (x,y), (x+y-2=0) ] --->
√[(x+5)² + (y+1)²] = | x + y - 2 | / √(1² + ²)
Elevamos al cuadrado ambos miembros:
2*[(x+5)² + (y+1)²] = (x + y - 2)² --->
2*[x²+10x+25+y²+2y+1] = x² + y² + 4 + 2xy - 4x - 4y --->
x² + y² + 48 - 2xy + 24x + 8y = 0
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La distancia que existe entre el foco y la recta directriz equivale al parámetro denominado "2p". O sea, y nuevamente aplicando (i):
2p = | - 5 - 1 - 2 | / √(1² + 1²) = | -8 | / √(2) --->
p = 2.√(2) (ii)
El dato (ii) es importante puesto que la longitud del laado recto (LR) equivale a "4p". Entonces:
LR = 4*2.√(2) --->
LR = 8.√(2) (iii)
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Si obtenemos la recta perpendicular a la directriz que pase por el foco y calculamos su intersección con la parábola, obtendremos las coordenadas del vértice.
Esa recta pasará por F(-5,-1) y tendrá pendiente m=1. De modo que:
y + 1 = 1.(x+5) --->
y = x + 4 (iv)
De (iv) en nuestra parábola resultará:
x² + (x + 4)² + 48 - 2x.(x + 4) + 24x + 8.(x + 4) = 0 --->
x² + x²+8x+16 + 48 - 2x²-8x + 24x + 8x + 32 = 0 --->
32x + 96 = 0 ---> x = -3 (v)
Y de (v) en (iv): y = 1
El vértice tendrá coordenadas: (Xv, Yv) = (-3, 1)
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La recta tangente a la parábola en el vértice, pasará por (-3,1) y tendrá la misma pendiente que la recta directriz, o sea: -1. Entonces:
y - 1 = (-1)*(x + 3) ---> y - 1 = - x - 3 --->
x + y + 2 = 0
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Saludos
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