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Mira wsabalzanegrete, vamos a resolver la integral, paso a paso

∫ Tan -¹ √[x] dx

Integramos por Partes

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➊ Utilizamos la siguiente Formula

∫u dv = u v - ∫v du

Donde:

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u = Tan -¹ √[x]…………….dv = dx

du = dx /√[x][2x + 2]……..v = x

➋ Aplicamos Formula

∫u dv = u v - ∫v du

x Tan -¹ √[x] - ∫ x dx / 2√[x] [x + 1]

x Tan -¹ √[x] - ∫ √[x] dx / 2[x + 1]

x Tan -¹ √[x] – ½ ∫ √[x] dx / [x + 1]

➌ Sustituimos:

s = √[x]

s² = x

ds = dx / 2√[x]

dx = 2√[x] ds

x Tan -¹ √[x] – ½ ∫ √[x] dx / [x + 1]

x Tan -¹ √[x] – ½ ∫ 2 s² ds / [s² + 1]

x Tan -¹ √[x] – ∫ s² / [s² + 1]

➍ Dividimos términos

x Tan -¹ √[x] – ∫ (1 - 1/ [s² + 1] ) ds

x Tan -¹ √[x] – ∫ ds + ∫ ds/ [s² + 1] )

➎ Resolvemos,

La integral de

…….1

∫ ----------- = Tan -¹ [s]

…[s² + 1]

x Tan -¹ √[x] – s + Tan -¹ √[s] + C

➏ Restituimos s = √[x] y este es el resultado

x Tan -¹ √[x] – √[x] + Tan -¹ √[x] + C

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x Tan -¹ √[x] + Tan -¹ √[x] – √[x] + C

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Saludos

pues esta no es mi especialidad pero de primera podrias intentar hacer metodo de integracion por partes, me dices como te salio, suerte.