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Mira esa integral es bastante larga, sólo te diré que puedes hacer la siguiente sustitución: t=Raíz de tanx; t²=tanx

x=arc tan (t²) y dx=(2tdt)/(1+t^4). Quedando en tu integral así:

(2t² dt)/(1+t^4). El denominador queda factorizado así:

1+t^4=(t²+ t (por raíz de 2)+1)(t²- t (por raíz de 2)+1). Que aquí empleas el método de las fracciones parciales, quedando: (At+B)/(t²+ t (por raíz de 2)+1) + (Ct+D)/(t²- t (por raíz de 2)+1) arrojando como resultado de los sistemas:

A=-1/Raíz de 2; B=0; C=1/Raíz de 2; D=0. Y resuelves cada integral, se que es mucho espero que puedas, pero te doy la respuesta, y te digo que es la respuesta porque yo mismo la he resuelto y la he comprobado derivándola, así la respuesta es:

1/(2 por raíz de 2) Ln[(tanx-Raíz de (2tanx)+1)/(tanx-Raíz de (2tanx)+1)]+1/(Raíz de 2) por arctan(Raíz de (2tanx)+1)+1/(Raíz de 2) por arctan(Raíz de (2tanx)+1)+c

Espero te sirva.

Saludos

tendiras que utilizar el metodo de sustitucion:

tan x = u => du/dx = sec² u => dx = du / sec² u

_ __

=> ∫(√u).du/ sec² u = 2(√(u³)) / (3*u * sec² u)

despues es cuestion de remplazar nuevamante u y ver como se puede simplificar la ecuación.