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Hola, GABRIEL:

Para hallar la derivada de cualquier función debes aplicar las propiedades. Si tienes problemas con eso, puedes verlas aquí:

• Fórmulas de derivadas

➙ https://www.vitutor.com/fun/4/d_f.html

► EJERCICIO 1. Calcular la derivada de la siguiente función:

f(x) = 4x³ – 3x² + 2x – π

A) f’(x) = 12x² – 6x + 2 ✔

B) f’(x) = 4x³ – 3x + 2 – π

C) f’(x) = 12x³ – 6x² + 2 – π

D) f’(x) = 12x² – 6x² + 2 – π

► SOLUCIÓN

En este ejercicio particular, podemos seleccionar la opción correcta por el camino más sencillo: el descarte. El número π es una constante. Como la derivada de una constante es 0 (cualquiera sea el valor de esa constante), NO PUEDE aparecer π en la respuesta, por lo tanto, la opción correcta es la 'A', pues en las otras 3 figura π.

Por el camino 'convencional', debemos derivar este polinomio aplicando las propiedades de las derivadas.

1) La derivada de una suma es la suma de las derivadas, entonces, debemos derivar cada término del polinomio.

[u(x) + v(x)]’ = u’(x) + v’(x)

2) La derivada de una potencia de 𝔁 es el producto del exponente y la 𝔁 elevada al (exponente – 1).

(xⁿ)’ = n · x⁽ⁿ⁻¹⁾

3) La derivada de 𝔁 multiplicada por una constante es dicha constante.

(kx)’ = k

4) La derivada de una constante es 0 (cualquiera sea el valor de esa constante).

(k)’ = 0       con k = cte

Entonces:

f(x) = 4x³ – 3x² + 2x – π

f’(x) = (4 · 3)x⁽³⁻¹⁾ – (3 · 2)x⁽²⁻¹⁾+ 2 – 0

f’(x) = 12x² – 6x¹ + 2

Cuando el exponente es 1, se omite:

_________________

| f’(x) = 12x² – 6x + 2 | ◄

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RESPUESTA: La opción correcta es la 'A'.

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► EJERCICIO 2. Calcular la derivada de la siguiente función:

f(x) = (x²/3) – (3/x²)

A) f’(x) = (x/3) + (6/x)

B) f’(x) = (2/3)x – (6/x³)

C) f’(x) = (2/3)x + (6/x³) ✔

D) f’(x) = (x/6) + (3/x)

► SOLUCIÓN

Para hallar la derivada de esta función debemos aplicar las propiedades de las derivadas que acabamos de ver.

1) La derivada de una suma es la suma de las derivadas, entonces, debemos derivar cada término del polinomio.

[u(x) + v(x)]’ = u’(x) + v’(x)

2) La derivada de una potencia de 𝔁 es el producto del exponente y la 𝔁 elevada al (exponente – 1).

(xⁿ)’ = n · x⁽ⁿ⁻¹⁾

3) La derivada de 𝔁 multiplicada por una constante es dicha constante.(

(kx)’ = k

4) La derivada de una constante es 0 (cualquiera sea el valor de esa constante).

(k)’ = 0       con k = cte

Si recordamos que elevar 'algo' a un exponente negativo es lo mismo que elevar la inversa de ese 'algo' al mismo exponente pero positivo, podemos expresar esta función de la siguiente forma:

f(x) = (x²/3) – (3/x²)

f(x) = (x²/3) – (3x⁻²)

El coeficiente del 1° término es 1/3:

f(x) = (1/3)x² – (3x⁻²)

Entonces:

f(x) = (1/3)x² – (3x⁻²)

f’(x) = (1/3 · 2)x⁽²⁻¹⁾ – [3 · (–2)]x⁽⁻²⁻¹⁾

f’(x) = (2/3)x¹ – (–6)x⁻³

Suprimimos el 2° paréntesis, cambiando el signo del –6 porque delante del paréntesis hay un signo '–':

f’(x) = (2/3)x¹ + 6x⁻³

Cuando el exponente es 1, se omite:

f’(x) = (2/3)x + 6x⁻³

En vez de 6x⁻³, podemos invertir la base y ponerle el mismo exponente, pero positivo:

___________________

| f’(x) = (2/3)x + (1/6x³) | ◄

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RESPUESTA: La opción correcta es la 'C'.

Saludos. 😏

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