► EJERCICIO 1. Resuelva la derivada de la función propuesta:
f(x) = (√x)(x² + 1)
Opciones:
............... 5x√x ......... 1
A) f’(x) = ——— + ——— ✔
.................. 2 .......... 2√x
.................. 1
B) f’(x) = ———
................ 2√x
................ x√x
C) f’(x) = ———
.................. 2
................. 3x√x .......... 1
D) f’(x) = ———— + ———
.................... 2 ............ √x
► SOLUCIÓN
Para hallar la derivada de esta función debemos tener presentes las siguientes propiedades básicas de las derivadas.
1) La derivada de una suma es la suma de las derivadas.
[u(x) + v(x)]’ = u’(x) + v’(x)
2) La derivada de una potencia de 𝔁 es el producto del exponente y la 𝔁 elevada al (exponente – 1).
(xⁿ)’ = n · x⁽ⁿ⁻¹⁾
3) La derivada de 𝔁 multiplicada por una constante es dicha constante.
(kx)’ = k
4) La derivada de una constante es 0 (cualquiera sea el valor de esa constante).
(k)’ = 0 ........ con k = cte
5) La derivada de un producto de funciones es la derivada de la 1ª función por la 2ª función sin derivar, más la 1ª función sin derivar por la derivada de la 2ª función.
a) Derivemos la primera función de este producto. Para derivar (√x) podemos expresar la raíz como un exponente fraccionario (= 1/2) y aplicar la regla de la derivada de una potencia:
√x = x⁽¹/²⁾
La derivada es:
(√x)’ = (1/2)x⁽¹/² ⁻¹⁾
(√x)’ = (1/2)x⁽⁻¹/²⁾
En vez de x⁽⁻¹/²⁾, podemos invertir la base y ponerle el mismo exponente, pero positivo:
(√x)’ = (1/2)(1/x)⁽¹/²⁾
(√x)’ = (1/2) · 1/(x⁽¹/²⁾)
O sea:
____________
| (√x)’ = 1/2√x | ········ derivada ⓑ
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
b) Derivemos la segunda función de este producto. Para derivar el polinomio (x² + 1) debemos recordar que la derivada de una suma es la suma de las derivadas y aplicar las reglas de la derivada de una potencia y de una constante:
(x² + 1)’ = 2x⁽²⁻¹⁾ + 0
(x² + 1)’ = 2x¹
Cuando el exponente es 1, se omite:
____________
| (x² + 1)’ = 2x | ········ derivada ⓒ
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Reemplacemos las derivadas ⓑ y ⓒ en la expresión de la derivada ⓐ:
Simplifiquemos el 1° término, expresando la raíz como un exponente fraccionario (√x = x⁽¹/²⁾) y recordando que para dividir potencias de igual base se restan los exponentes:
............ √x .......... 1
f’(x) = ——— + ——— + 2√x
............. 2 ......... 2√x
O sea:
............ √x .......... 1 ......... 4√x
f’(x) = ——— + ——— + ———
............. 2 ......... 2√x ......... 2
Sumemos el 1° y el 3° términos:
............ 5√x ........ 1
f’(x) = ——— + ———
.............. 2 ......... 2√x
_____________________
| f’(x) = (5/2)√x² + (1/2)√x | ◄
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
RESPUESTA: La opción correcta es la 'A'.
▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬
► EJERCICIO 2. Resuelva la derivada de la función propuesta:
f(x) = (3x² – 4)⁵
Opciones:
A) f’(x) = (6x – 4)⁴
B) f’(x) = 30x (3x² – 4)⁴ ✔
C) f’(x) = (3x² – 4)³ (3x² – 4)²
D) f’(x) = 15x² – 20
► SOLUCIÓN
Para hallar la derivada de esta función debemos aplicar la regla de la cadena y las propiedades básicas de las derivadas.
1) La derivada de una suma es la suma de las derivadas.
[u(x) + v(x)]’ = u’(x) + v’(x)
2) La derivada de una potencia de 𝔁 es el producto del exponente y la 𝔁 elevada al (exponente – 1).
(xⁿ)’ = n · x⁽ⁿ⁻¹⁾
3) La derivada de 𝔁 multiplicada por una constante es dicha constante.
(kx)’ = k
4) La derivada de una constante es 0 (cualquiera sea el valor de esa constante).
(k)’ = 0 ........ con k = cte
5) La derivada de un producto de funciones es la derivada de la 1ª función por la 2ª función sin derivar, más la 1ª función sin derivar por la derivada de la 2ª función.
O sea:
Si h(x) = u(x) · v(x),
su derivada es:
h’(x) = u’(x) · v(x) + u(x) · v’(x)
6) Regla de la cadena
La derivada de una composición se calcula con la denominada regla de la cadena:
Si h(x) = (u ° v)(x),
entonces su derivada es:
h’(x) = v’(u(x)) · u’(x)
En este caso, la función es:
f(x) = (3x² – 4)⁵
Aplicamos la regla de la cadena, es decir, primero hallamos la derivada de la potencia, y al resultado lo multiplicamos por la derivada de la función entre paréntesis:
f’(x) = 5(3x² – 4)⁽⁵⁻¹⁾ · [(3 · 2)x⁽²⁻¹⁾ – 0]
f’(x) = 5(3x² – 4)⁴ · 6x¹
Cuando el exponente es 1, se omite:
f’(x) = 5(3x² – 4)⁴ · 6x
Multiplicando los números entre sí y ordenando, nos queda:
_________________
| f’(x) = 30x(3x² – 4)⁴ | ◄
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
RESPUESTA: La opción correcta es la 'B'.
▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬
► EJERCICIO 3. Resuelva la derivada de la función propuesta:
........... (2 – 3x)⁵
f(x) = —————
............... 5x
Opciones:
A) f’(x) = (3x² – 2)³ (6x)²
................ –75x(2 – 3x)⁴ – 5(2 – 3x)⁵
B) f’(x) = ————————————— ✔
................................... 25x²
................. –25x(2 – 3x)⁴ – 5(2 – 3x)⁵
C) f’(x) = —————————————
.................................. 5x²
................ (2 – 3x)⁵
D) f’(x) = —————
...................... 5
► SOLUCIÓN
Lo siento, pero esta respuesta es demasiado larga. No entra la solución de este ejercicio aquí.
RESPUESTA: La opción correcta es la 'B'. Sin embargo, sería más lógico simplificar esa expresión por 5 y expresar la derivada de esta forma:
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Hola, GABRIEL:
Para hallar la derivada de cualquier función debes aplicar las propiedades. Si tienes problemas con eso, puedes verlas aquí, por ejemplo:
• Fórmulas de derivadas
➙ https://www.vitutor.com/fun/4/d_f.html
► EJERCICIO 1. Resuelva la derivada de la función propuesta:
f(x) = (√x)(x² + 1)
Opciones:
............... 5x√x ......... 1
A) f’(x) = ——— + ——— ✔
.................. 2 .......... 2√x
.................. 1
B) f’(x) = ———
................ 2√x
................ x√x
C) f’(x) = ———
.................. 2
................. 3x√x .......... 1
D) f’(x) = ———— + ———
.................... 2 ............ √x
► SOLUCIÓN
Para hallar la derivada de esta función debemos tener presentes las siguientes propiedades básicas de las derivadas.
1) La derivada de una suma es la suma de las derivadas.
[u(x) + v(x)]’ = u’(x) + v’(x)
2) La derivada de una potencia de 𝔁 es el producto del exponente y la 𝔁 elevada al (exponente – 1).
(xⁿ)’ = n · x⁽ⁿ⁻¹⁾
3) La derivada de 𝔁 multiplicada por una constante es dicha constante.
(kx)’ = k
4) La derivada de una constante es 0 (cualquiera sea el valor de esa constante).
(k)’ = 0 ........ con k = cte
5) La derivada de un producto de funciones es la derivada de la 1ª función por la 2ª función sin derivar, más la 1ª función sin derivar por la derivada de la 2ª función.
O sea:
Si h(x) = u(x) · v(x),
su derivada es:
h’(x) = u’(x) · v(x) + u(x) · v’(x)
En este caso, la función que debemos derivar es:
f(x) = (√x)(x² + 1)
Aplicamos la regla de la derivada de un producto:
f’(x) = (√x)’ · (x² + 1) + (√x) · (x² + 1)’ ········ derivada ⓐ
a) Derivemos la primera función de este producto. Para derivar (√x) podemos expresar la raíz como un exponente fraccionario (= 1/2) y aplicar la regla de la derivada de una potencia:
√x = x⁽¹/²⁾
La derivada es:
(√x)’ = (1/2)x⁽¹/² ⁻¹⁾
(√x)’ = (1/2)x⁽⁻¹/²⁾
En vez de x⁽⁻¹/²⁾, podemos invertir la base y ponerle el mismo exponente, pero positivo:
(√x)’ = (1/2)(1/x)⁽¹/²⁾
(√x)’ = (1/2) · 1/(x⁽¹/²⁾)
O sea:
____________
| (√x)’ = 1/2√x | ········ derivada ⓑ
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
b) Derivemos la segunda función de este producto. Para derivar el polinomio (x² + 1) debemos recordar que la derivada de una suma es la suma de las derivadas y aplicar las reglas de la derivada de una potencia y de una constante:
(x² + 1)’ = 2x⁽²⁻¹⁾ + 0
(x² + 1)’ = 2x¹
Cuando el exponente es 1, se omite:
____________
| (x² + 1)’ = 2x | ········ derivada ⓒ
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Reemplacemos las derivadas ⓑ y ⓒ en la expresión de la derivada ⓐ:
f’(x) = (√x)’ · (x² + 1) + (√x) · (x² + 1)’ ········ derivada ⓐ
f’(x) = (1/2√x) · (x² + 1) + (√x) · 2x
Para mayor claridad, podemos escribir esto como:
............ x² + 1
f’(x) = ———— + 2x√x
............. 2√x
Distribuyamos el 1° término:
............. x² .......... 1
f’(x) = ——— + ——— + 2x√x
........... 2√x ........ 2√x
Expresemos x² como (x · x):
............ x · x ........... 1
f’(x) = ———— + ——— + 2x√x
............. 2√x .......... 2√x
Simplifiquemos el 1° término, expresando la raíz como un exponente fraccionario (√x = x⁽¹/²⁾) y recordando que para dividir potencias de igual base se restan los exponentes:
............ √x .......... 1
f’(x) = ——— + ——— + 2√x
............. 2 ......... 2√x
O sea:
............ √x .......... 1 ......... 4√x
f’(x) = ——— + ——— + ———
............. 2 ......... 2√x ......... 2
Sumemos el 1° y el 3° términos:
............ 5√x ........ 1
f’(x) = ——— + ———
.............. 2 ......... 2√x
_____________________
| f’(x) = (5/2)√x² + (1/2)√x | ◄
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RESPUESTA: La opción correcta es la 'A'.
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► EJERCICIO 2. Resuelva la derivada de la función propuesta:
f(x) = (3x² – 4)⁵
Opciones:
A) f’(x) = (6x – 4)⁴
B) f’(x) = 30x (3x² – 4)⁴ ✔
C) f’(x) = (3x² – 4)³ (3x² – 4)²
D) f’(x) = 15x² – 20
► SOLUCIÓN
Para hallar la derivada de esta función debemos aplicar la regla de la cadena y las propiedades básicas de las derivadas.
1) La derivada de una suma es la suma de las derivadas.
[u(x) + v(x)]’ = u’(x) + v’(x)
2) La derivada de una potencia de 𝔁 es el producto del exponente y la 𝔁 elevada al (exponente – 1).
(xⁿ)’ = n · x⁽ⁿ⁻¹⁾
3) La derivada de 𝔁 multiplicada por una constante es dicha constante.
(kx)’ = k
4) La derivada de una constante es 0 (cualquiera sea el valor de esa constante).
(k)’ = 0 ........ con k = cte
5) La derivada de un producto de funciones es la derivada de la 1ª función por la 2ª función sin derivar, más la 1ª función sin derivar por la derivada de la 2ª función.
O sea:
Si h(x) = u(x) · v(x),
su derivada es:
h’(x) = u’(x) · v(x) + u(x) · v’(x)
6) Regla de la cadena
La derivada de una composición se calcula con la denominada regla de la cadena:
Si h(x) = (u ° v)(x),
entonces su derivada es:
h’(x) = v’(u(x)) · u’(x)
En este caso, la función es:
f(x) = (3x² – 4)⁵
Aplicamos la regla de la cadena, es decir, primero hallamos la derivada de la potencia, y al resultado lo multiplicamos por la derivada de la función entre paréntesis:
f’(x) = 5(3x² – 4)⁽⁵⁻¹⁾ · [(3 · 2)x⁽²⁻¹⁾ – 0]
f’(x) = 5(3x² – 4)⁴ · 6x¹
Cuando el exponente es 1, se omite:
f’(x) = 5(3x² – 4)⁴ · 6x
Multiplicando los números entre sí y ordenando, nos queda:
_________________
| f’(x) = 30x(3x² – 4)⁴ | ◄
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RESPUESTA: La opción correcta es la 'B'.
▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬
► EJERCICIO 3. Resuelva la derivada de la función propuesta:
........... (2 – 3x)⁵
f(x) = —————
............... 5x
Opciones:
A) f’(x) = (3x² – 2)³ (6x)²
................ –75x(2 – 3x)⁴ – 5(2 – 3x)⁵
B) f’(x) = ————————————— ✔
................................... 25x²
................. –25x(2 – 3x)⁴ – 5(2 – 3x)⁵
C) f’(x) = —————————————
.................................. 5x²
................ (2 – 3x)⁵
D) f’(x) = —————
...................... 5
► SOLUCIÓN
Lo siento, pero esta respuesta es demasiado larga. No entra la solución de este ejercicio aquí.
RESPUESTA: La opción correcta es la 'B'. Sin embargo, sería más lógico simplificar esa expresión por 5 y expresar la derivada de esta forma:
............ –15x(2 – 3x)⁴ – (2 – 3x)⁵
f’(x) = ———————————— ✔
............................... 5x²
► RESPUESTA INCOMPLETA ◄
Saludos. 😏
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