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Hola, GABRIEL:

► EJERCICIO 1. ¿Cuál es el valor del siguiente límite?

............ x⁵ – 25x

lím    -------------------

x → 0     x³ – 5x

A) 2

B) 0

C) –5

D) –1

E) 5 ✔

► SOLUCIÓN

Para hallar el valor del límite de esta función f(x) cuando 𝒙 → 0 hay que sustituir 𝒙 por 0 y hacer los cálculos.

............ x⁵ – 25x

lím     ------------------- =

x → 0      x³ – 5x

Para x = 0:

...... 0⁵ – (25 · 0) ........ 0 – 0 ....... 0

= ---------------------- = ----------- = ------ ← indeterminación 0/0

.. ... 0³ – (5 · 0) ........... 0 – 0 ....... 0

Debemos resolver esta indeterminación por medio de algún 'artilugio' matemático.

.............. x⁵ – 25x

lím      ------------------ =

x → 0 ..... x³ – 5x

Saquemos 𝒙 como factor común en el numerador y en el denominador:

............... x(x⁴ – 25)

= lím      ----------------- =

 x → 0       x(x² – 5)

Simplifiquemos la 𝒙 del numerador y la del denominador, ya que 𝒙 no puede ser 0 (la 𝒙 tiende a 0, pero no llega a ese valor):

.............. (x⁴ – 25)

= lím    ----------------- =

 x → 0 .... (x² – 5)

Ya hemos disuelto la indeterminación. Calculemos este límite sustituyendo 𝒙 por 0:

.... (0⁴ – 25) ....... 0 – 25 ...... – 25

= --------------- = ------------ = ----------- = 5

..... (0² – 5) ......... 0 – 5 ........ – 5

______________________________

| lím(x→ 0) de (x⁵ – 25)/(x³ – 5x) = 5 | ◄

¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯

RESPUESTA: La opción correcta es la 'E'.

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► EJERCICIO 2. ¿Cuál es el valor del siguiente límite?

.............. x² + 4x + 4

lím       ---------------------

x → –2    x² + 3x + 2

A) 1

B) 0 ✔

C) –1

D) –2

E) 4

► SOLUCIÓN

Para hallar el valor del límite de esta función f(x) cuando 𝒙→ –2 hay que sustituir 𝒙 por –2 y hacer los cálculos.

............... x² + 4x + 4

lím       ---------------------- =

x → –2     x² + 3x + 2

Para x = –2:

..... (–2)² + 4(–2) + 4 .......... 4 – 8 + 4 ......... 8 – 8 ......... 0

= ---------------------------- = ----------------- = ------------- = ------- ← indeterminación 0/0

....... (2)² + 3(–2) + 2 ........... 4 – 6 + 2 ........ 6 – 6 ......... 0

Debemos resolver esta indeterminación. Factoricemos los polinomios del numerador y el denominador.

• Numerador → x² + 4x + 4

El polinomio del numerador es un trinomio cuadrado perfecto, que puede expresarse como el cuadrado de un binomio según la siguiente fórmula:

_____________________

| A² + 2AB + B² = (A + B)² |

¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯

En este caso:

• A² = x² → A = x

• B² = 4 → B = 2

Reemplazando A por x y B por 2, nos queda:

__________________

| x² + 4x + 4 = (x + 2)² | ← numerador

¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯

• Denominador → x² + 3x + 2

En el denominador hay un polinomio cuadrático de la forma:

___________

| ax² + bx + c |

¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯

donde:

• a = 1

• b = 3

• c = 2

Para factorizar este polinomio podemos hallar sus raíces aplicando la fórmula general, o podemos encontrar 2 números 'u' y 'v', tales que multiplicados den 'a · c' y sumados den 'b', o sea:

• u · v = a · c

• u + v = b

Esos números son 1 y 2:

• u = 1

• v = 2

ya que:

u · v = a · c ⇒ 1 · 2 = 1 · 2

u + v = b ⇒ 1 + 2 = 3

Reemplacemos 'b' por (u + v) en el polinomio que queremos factorizar, es decir, reemplacemos el 3 por (1 + 2):

x² + 3x + 2 =

= x² + (1 + 2)x + 2 =

Distribuyamos:

= x² + x + 2x + 2 =

Agrupemos:

= (x² + x) + (2x + 2) =

Ahora factoricemos por agrupación. Saquemos factor común 𝒙 en el 1° paréntesis y factor común 2 en el 2°:

= x(x + 1) + 2(x + 1) =

Saquemos (x + 1) como factor común:

= (x + 1)(x + 2)

Ya ha quedado factorizado este polinomio.

_______________________

| x² + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2) | ← denominador

¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯

Reemplacemos los dos polinomios por los factores obtenidos:

............... x² + 4x + 4

lím       ---------------------- =

x → –2     x² + 3x + 2

................... (x + 2)²

lím       ---------------------- =

x → –2    (x + 1)(x + 2)

Simplifiquemos los factores comunes:

............... (x + 2)

= lím     ------------- =

x → –2     (x + 1)

Calculemos este límite sustituyendo 𝒙 por –2, puesto que ya hemos eliminado la indeterminación:

............... (–2 + 2) ........ 0

= lím      --------------- = ------ = 0

x → –2     (–2 + 1) ...... –1

Por lo tanto:

.............. x² + 4x + 4

lím       -------------------- = 0

x → –2    x² + 3x + 2

___________________ _________________

| lím(x→ –2) de (x² + 4x + 4)/(x² + 3x + 2) = 0 | ◄

¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯

RESPUESTA: La opción correcta es la 'B'.

Saludos. 😏

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