Hola,,

∫ arcsec(5x) dx =

empecemos con una sustitución:

arcsec(5x) = t

entonces:

5x = sec t

x = (1/5)sec t

dx = (1/5)tan t sec t dt

obteniendo:

∫ arcsec(5x) dx = ∫ t (1/5)tan t sec t dt =

∫ (1/5)t tan t sec t dt =

integremos por partes, poniendo:

(1/5)t = u → (1/5) dt = du

tan t sec t dt = dv → sec t = v

obteniendo:

∫ u dv = u v - ∫ v du

∫ (1/5)t tan t sec t dt = (1/5)t sec t - ∫ sec t (1/5) dt =

(sacando la constante)

(1/5)t sec t - (1/5) ∫ sec t dt =

multpliquemos el restante integrando por (tan t + sec t) /(sec t + tan t) (= 1):

(1/5)t sec t - (1/5) ∫ sec t [(tan t + sec t) /(sec t + tan t)] dt =

de este modo obtenemos en el numerador la derivada del denominador:

(1/5)t sec t - (1/5) ∫ [(tan t sec t + sec²t) /(sec t + tan t)] dt =

(1/5)t sec t - (1/5) ∫ d(sec t + tan t) /(sec t + tan t) =

(1/5)t sec t - (1/5) ln |sec t + tan t| + C

recordemos que hemos puesto:

t = arcsec(5x)

sec t = 5x

entonces:

tan t = ± √(sec²t - 1) = ± √[(5x)² - 1] = ± √(25x² - 1)

luego, sustituyendo y distinguiendo dos casos:

I) tan t > 0

(1/5)t sec t - (1/5) ln |sec t + tan t| + C = (1/5)[arcsec(5x)] (5x) - (1/5) ln |5x + √(25x² -

1)| + C =

x arcsec(5x) - (1/5) ln |5x + √(25x² - 1)| + C

II) tan t < 0

(1/5)t sec t - (1/5) ln |sec t + tan t| + C = (1/5)[arcsec(5x)] (5x) - (1/5) ln |5x + [- √(25x² -

1)]| + C =

x arcsec(5x) - (1/5) ln |5x - √(25x² - 1)| + C

notemos que, puesto que t = arcsec(5x), tan t es positiva cuando el argumento 5x es positivo (es decir cuando t pertenece al primer cuadrante), mientras que tan t es negativa cuando 5x es negativo (es decir cuando t pertenece al segundo cuadrante)

luego, en conclusión:

∫ arcsec(5x) dx =

I) x arcsec(5x) - (1/5) ln |5x + √(25x² - 1)| + C para x > 0

II) x arcsec(5x) - (1/5) ln |5x - √(25x² - 1)| + C para x < 0

espero haber sido de ayuda

¡Saludos!