ayuda porfavor
Ok, te ayudo:
Utiliza estas identidades trigonométricas
Sen²(u) = 1/2 - Cos(2.u)/2
Cos²(u) = 1/2 + Cos(2.u)/2
1 - Sen²(u) = Cos²(u)
Luego:
Sen⁸(x) = [Sen²(x)]⁴ = [ 1/2 - Cos(2.x)/2 ]⁴ = (1/16).[ 1 - Cos(2.x) ]⁴ = 1 - 4.Cos(2.x) + 6.Cos²(2.x) - 4.Cos³(2.x) + Cos⁴(2.x)
Aplica otra vez esas identidades...y agrupa convenientemente
Además te dejo algunos enlaces:
https://espanol.answers.yahoo.com/question/index?q... solución completa
http://experymente.blogspot.com/p/gadgets-matemati... Calculadora paso a paso, pero usa fórmula directa para este tipo de funciones(seno a la enésima potencia).
Hola,
escribamos la integral como:
∫ (sen²x)² (sen²x)² dx =
apliquemos la fórmula para la reducción del exponente sen²θ = [1 - cos(2θ)] /2:
∫ {[1 - cos(2x)] /2}² {[1 - cos(2x)] /2}² dx =
∫ {[1 - cos(2x)]² /4} {[1 - cos(2x)]² /4} dx =
∫ (1/16)[1 - 2cos(2x) + cos²(2x)][1 - 2cos(2x) + cos²(2x)] dx =
(desarrollando)
∫ (1/16)[1 - 2cos(2x) + cos²(2x) - 2cos(2x) + 4cos²(2x) - 2cos³(2x) +
cos²(2x) - 2cos³(2x) + cos⁴(2x)] dx =
∫ (1/16)[1 - 4cos(2x) + 6cos²(2x) - 4cos³(2x) + cos⁴(2x)] dx =
apliquemos la fórmula para la reducción del exponente cos²θ = [1 + cos(2θ)] /2:
∫ (1/16){1 - 4cos(2x) + 6 {{1 + cos[2(2x)]} /2} - 4cos³(2x) +
cos⁴(2x)} dx =
∫ (1/16){1 - 4cos(2x) + 3[1 + cos(4x)] - 4cos³(2x) + cos⁴(2x)} dx =
∫ (1/16)[1 - 4cos(2x) + 3 + 3cos(4x) - 4cos³(2x) + cos⁴(2x)] dx =
∫ (1/16)[4 - 4cos(2x) + 3cos(4x) - 4cos³(2x) + cos⁴(2x)} dx =
escribamos cos⁴(2x) como [cos²(2x)]²:
∫ (1/16)[4 - 4cos(2x) + 3cos(4x) - 4cos³(2x) + [cos²(2x)]²} dx =
apliquemos nuevamente la fórmula para la reducción del exponente cos²θ = [1 + cos(2θ)] /2:
∫ (1/16)[4 - 4cos(2x) + 3cos(4x) - 4cos³(2x) + {{1 + cos[2(2x)]} /2}²} dx =
∫ (1/16)[4 - 4cos(2x) + 3cos(4x) - 4cos³(2x) + {[1 + cos(4x)]² /4} } dx =
∫ (1/16)[4 - 4cos(2x) + 3cos(4x) - 4cos³(2x) + {[1 + 2cos(4x) +
cos²(4x)] /4} } dx =
∫ (1/16)[4 - 4cos(2x) + 3cos(4x) - 4cos³(2x) + (1/4) + (1/2)cos(4x) +
(1/4)cos²(4x)] dx =
∫ (1/16) {[(16 + 1)/4] - 4cos(2x) + [(6 + 1)/2]cos(4x) - 4cos³(2x) +
apliquemos otra vez la fórmula para la reducción del exponente cos²θ = [1 + cos(2θ)] /2:
∫ (1/16) {(17/4) - 4cos(2x) + (7/2)cos(4x) - 4cos³(2x) + (1/8)[1 +
cos(8x)]} dx =
∫ (1/16)[(17/4) - 4cos(2x) + (7/2)cos(4x) - 4cos³(2x) + (1/8) +
(1/8)cos(8x)] dx =
∫ (1/16) {[(34 + 1)/8] - 4cos(2x) + (7/2)cos(4x) - 4cos³(2x) +
(1/8)cos(8x)} dx =
partamos cos³(2x) en cos²(2x) cos(2x):
∫ (1/16) [(35/8) - 4cos(2x) + (7/2)cos(4x) - 4cos²(2x) cos(2x) + (1/8)cos(8x)] dx =
reemplacemos cos²(2x) con 1 - sen²(2x):
∫ (1/16) {(35/8) - 4cos(2x) + (7/2)cos(4x) - 4[1 - sen²(2x)] cos(2x) +
∫ (1/16) {(35/8) - 4cos(2x) + (7/2)cos(4x) - 4[cos(2x) -
sen²(2x) cos(2x)] + (1/8)cos(8x)} dx =
∫ (1/16) {(35/8) - 4cos(2x) + (7/2)cos(4x) - 4cos(2x) +
4sen²(2x) cos(2x) + (1/8)cos(8x)} dx =
∫ (1/16) [(35/8) - 8cos(2x) + (7/2)cos(4x) + 4sen²(2x) cos(2x) +
∫ [(1/16)(35/8) - (1/16)8cos(2x) + (1/16)(7/2)cos(4x) +
(1/16)4sen²(2x) cos(2x) + (1/16)(1/8)cos(8x)] dx =
(simplificando)
∫ [(35/128) - (1/2)cos(2x) + (7/32)cos(4x) + (1/4)sen²(2x) cos(2x) +
(1/128)cos(8x)] dx =
partamos en cinco integrales sacando las constantes:
(35/128) ∫ dx - (1/2) ∫ cos(2x) dx + (7/32) ∫ cos(4x) dx +
(1/4) ∫ sen²(2x) cos(2x) dx + (1/128) ∫ cos(8x) dx =
(35/128)x - (1/2) ∫ cos(2x) dx + (7/32) ∫ cos(4x) dx +
dividamos y multipliquemos cada integral por la derivada del argumento del integrando:
(35/128)x - (1/2)(1/2) ∫ cos(2x) 2 dx + (7/32)(1/4) ∫ cos(4x) 4 dx +
(1/4)(1/2) ∫ sen²(2x) cos(2x) 2 dx + (1/128)(1/8) ∫ cos(8x) 8 dx =
(35/128)x - (1/4) ∫ cos(2x) d(2x) + (7/128) ∫ cos(4x) d(4x) +
(1/8) ∫ sen²(2x) cos(2x) 2 dx + (1/1024) ∫ cos(8x) d(8x) =
(aplicando la regla de integración ∫ cos[f(x)] d[f(x)] = sen[f(x)] + C)
(35/128)x - (1/4)sen(2x) + (7/128)sen(4x) +
(1/8) ∫ sen²(2x) cos(2x) 2 dx + (1/1024)sen(8x) =
(siendo cos(2x) 2 la derivada de sen(2x))
(1/8) ∫ sen²(2x) d[sen(2x)] + (1/1024)sen(8x) =
(aplicando la regla de intrgración ∫ f(x)ⁿ d[f(x)] = [1/(n+1)] f(x)ⁿ⁺¹ + C)
(1/8) [1/(2+1)] [sen(2x)]² ⁺ ¹ + (1/1024)sen(8x) + C =
(35/128)x - (1/4)sen(2x) + (7/128)sen(4x) + (1/8)(1/3)[sen(2x)]³ +
(1/1024)sen(8x) + C =
concluyendo con:
(35/128)x - (1/4)sen(2x) + (7/128)sen(4x) + (1/24)sen³(2x) +
(1/1024)sen(8x) + C
espero haber sido de ayuda
¡Saludos!
∫ sin^8x dx =
since the integrand is even-powered, you have to start reducing its order by the power-reducing formula:
sin²x = (1/2)[1 - cos(2x)]
hence
∫ sin^8x dx = ∫ (sin²x)^4 dx = ∫ {(1/2)[1 - cos(2x)]}^4 dx =
expanding the integrand,
∫ (1/16){[1 - cos(2x)]²}² dx =
∫ (1/16)[1 - 2cos(2x) + cos²(2x)]² dx =
∫ (1/16)[1 + 4cos²(2x) + cos^4(2x) - 4cos(2x) + 2cos²(2x) - 4cos³(2x)] dx =
∫ (1/16)[1 + 6cos²(2x) + cos^4(2x) - 4cos(2x) - 4cos³(2x)] dx =
∫ [(1/16) + (1/16)6cos²(2x) + (1/16)cos^4(2x) - (1/16)4cos(2x) - (1/16)4cos³(2x)] dx =
∫ [(1/16) + (3/8)cos²(2x) + (1/16)cos^4(2x) - (1/4)cos(2x) - (1/4)cos³(2x)] dx =
break it into separate integrals, pulling constants out:
(1/16) ∫ dx + (3/8) ∫ cos²(2x) dx + (1/16) ∫ cos^4(2x) dx - (1/4) ∫ cos(2x) dx -
(1/4) ∫ cos³(2x) dx =
rewrite the even-powered integrands using the power-reducing formula
cos²x = (1/2)[1 + cos(2x)]
cos²(2x) = (1/2)[1 + cos(4x)]
(1/16) ∫ dx + (3/8) ∫ (1/2)[1 + cos(4x)] + (1/16) ∫ [cos²(2x)]² dx - (1/4) ∫ cos(2x) dx -
(1/16) ∫ dx + (3/8)(1/2) ∫ [1 + cos(4x)] dx + (1/16) ∫ {(1/2)[1 + cos(4x)]}² dx -
(1/4) ∫ cos(2x) dx - (1/4) ∫ cos³(2x) dx =
(1/16) ∫ dx + (3/16) ∫ [1 + cos(4x)] dx + (1/16) ∫ (1/4)[1 + cos(4x)]² dx -
expand the square:
(1/16) ∫ dx + (3/16) ∫ [1 + cos(4x)] dx + (1/16) ∫ (1/4)[1 + 2cos(4x) + cos²(4x)] dx -
(1/16) ∫ dx + (3/16) ∫ [1 + cos(4x)] dx + (1/16) ∫ [(1/4) + (1/4)2cos(4x) + (1/4)cos²(4x)] dx -
(1/16) ∫ dx + (3/16) ∫ [1 + cos(4x)] dx + (1/16) ∫ [(1/4) + (1/2)cos(4x) + (1/4)cos²(4x)] dx -
break up the second and the third integral, factoring constants out:
(1/16) ∫ dx + (3/16) ∫ dx + (3/16) ∫ cos(4x) dx + (1/16)(1/4) ∫ dx + (1/16)(1/2) ∫ cos(4x) dx +
(1/16)(1/4) ∫ cos²(4x) dx - (1/4) ∫ cos(2x) dx - (1/4) ∫ cos³(2x) dx =
(1/16) ∫ dx + (3/16) ∫ dx + (3/16) ∫ cos(4x) dx + (1/64) ∫ dx + (1/32) ∫ cos(4x) dx +
(1/64) ∫ cos²(4x) dx - (1/4) ∫ cos(2x) dx - (1/4) ∫ cos³(2x) dx =
being cos²(4x) still even-powered, use the above power-reducing formula
(cos²x = (1/2)[1 + cos(2x)]) again:
(1/64) ∫ (1/2)[1 + cos(8x)] dx - (1/4) ∫ cos(2x) dx - (1/4) ∫ cos³(2x) dx =
(1/64)(1/2) ∫ [1 + cos(8x)] dx - (1/4) ∫ cos(2x) dx - (1/4) ∫ cos³(2x) dx =
(1/128) ∫ dx + (1/128) ∫ cos(8x) dx - (1/4) ∫ cos(2x) dx - (1/4) ∫ cos³(2x) dx =
adding similar terms together, you have:
[(1/16) + (3/16) + (1/64) + (1/128)] ∫ dx + [(3/16) + (1/32)] ∫ cos(4x) dx +
(1/128) ∫ cos(8x) dx - (1/4) ∫ cos(2x) dx - (1/4) ∫ cos³(2x) dx =
[(8 + 24 + 2 + 1)/128] ∫ dx + [(6 + 1)/32] ∫ cos(4x) dx + (1/128) ∫ cos(8x) dx -
(35/128) ∫ dx + (7/32) ∫ cos(4x) dx + (1/128) ∫ cos(8x) dx - (1/4) ∫ cos(2x) dx -
integrating, you have:
(35/128)x + (7/32) (1/4)sin(4x) + (1/128) (1/8)sin(8x) - (1/4) (1/2)sin(2x) -
(35/128)x + (7/128)sin(4x) + (1/1024)sin(8x) - (1/8)sin(2x) - (1/4) ∫ cos³(2x) dx =
as for the remaining integral, being cosine odd-powered, rewrite it as:
(35/128)x + (7/128)sin(4x) + (1/1024)sin(8x) - (1/8)sin(2x) - (1/4) ∫ cos²(2x) cos(2x) dx =
rewrite cos²(2x) in terms of sin(2x):
(35/128)x + (7/128)sin(4x) + (1/1024)sin(8x) - (1/8)sin(2x) - (1/4) ∫ [1 - sin²(2x)] cos(2x) dx =
divide and multiply by 2 so as to get 2cos(2x) dx, that is d[sin(2x)]:
(35/128)x + (7/128)sin(4x) + (1/1024)sin(8x) - (1/8)sin(2x) - (1/4)(1/2) ∫ [1 -
sin²(2x)] [2cos(2x)] dx =
(35/128)x + (7/128)sin(4x) + (1/1024)sin(8x) - (1/8)sin(2x) - (1/8) ∫ [1 -
sin²(2x)] d[sin(2x)] =
break it up into:
(35/128)x + (7/128)sin(4x) + (1/1024)sin(8x) - (1/8)sin(2x) - (1/8) ∫ d[sin(2x)] +
(1/8) ∫ sin²(2x) d[sin(2x)] =
(35/128)x + (7/128)sin(4x) + (1/1024)sin(8x) - (1/8)sin(2x) - (1/8)sin(2x) +
(1/8) [1/(2+1)] sin^(2+1)(2x) + C =
(35/128)x + (7/128)sin(4x) + (1/1024)sin(8x) - (1/4)sin(2x) + (1/8)(1/3)sin³(2x) + C =
thus the definitive answer is:
∫ sin^8x dx = (35/128)x + (7/128)sin(4x) + (1/1024)sin(8x) - (1/4)sin(2x) +
(1/24)sin³(2x) + C
I hope it helps..
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Utiliza estas identidades trigonométricas
Sen²(u) = 1/2 - Cos(2.u)/2
Cos²(u) = 1/2 + Cos(2.u)/2
1 - Sen²(u) = Cos²(u)
Luego:
Sen⁸(x) = [Sen²(x)]⁴ = [ 1/2 - Cos(2.x)/2 ]⁴ = (1/16).[ 1 - Cos(2.x) ]⁴ = 1 - 4.Cos(2.x) + 6.Cos²(2.x) - 4.Cos³(2.x) + Cos⁴(2.x)
Aplica otra vez esas identidades...y agrupa convenientemente
Además te dejo algunos enlaces:
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http://experymente.blogspot.com/p/gadgets-matemati... Calculadora paso a paso, pero usa fórmula directa para este tipo de funciones(seno a la enésima potencia).
Hola,
escribamos la integral como:
∫ (sen²x)² (sen²x)² dx =
apliquemos la fórmula para la reducción del exponente sen²θ = [1 - cos(2θ)] /2:
∫ {[1 - cos(2x)] /2}² {[1 - cos(2x)] /2}² dx =
∫ {[1 - cos(2x)]² /4} {[1 - cos(2x)]² /4} dx =
∫ (1/16)[1 - 2cos(2x) + cos²(2x)][1 - 2cos(2x) + cos²(2x)] dx =
(desarrollando)
∫ (1/16)[1 - 2cos(2x) + cos²(2x) - 2cos(2x) + 4cos²(2x) - 2cos³(2x) +
cos²(2x) - 2cos³(2x) + cos⁴(2x)] dx =
∫ (1/16)[1 - 4cos(2x) + 6cos²(2x) - 4cos³(2x) + cos⁴(2x)] dx =
apliquemos la fórmula para la reducción del exponente cos²θ = [1 + cos(2θ)] /2:
∫ (1/16){1 - 4cos(2x) + 6 {{1 + cos[2(2x)]} /2} - 4cos³(2x) +
cos⁴(2x)} dx =
∫ (1/16){1 - 4cos(2x) + 3[1 + cos(4x)] - 4cos³(2x) + cos⁴(2x)} dx =
∫ (1/16)[1 - 4cos(2x) + 3 + 3cos(4x) - 4cos³(2x) + cos⁴(2x)] dx =
∫ (1/16)[4 - 4cos(2x) + 3cos(4x) - 4cos³(2x) + cos⁴(2x)} dx =
escribamos cos⁴(2x) como [cos²(2x)]²:
∫ (1/16)[4 - 4cos(2x) + 3cos(4x) - 4cos³(2x) + [cos²(2x)]²} dx =
apliquemos nuevamente la fórmula para la reducción del exponente cos²θ = [1 + cos(2θ)] /2:
∫ (1/16)[4 - 4cos(2x) + 3cos(4x) - 4cos³(2x) + {{1 + cos[2(2x)]} /2}²} dx =
∫ (1/16)[4 - 4cos(2x) + 3cos(4x) - 4cos³(2x) + {[1 + cos(4x)]² /4} } dx =
∫ (1/16)[4 - 4cos(2x) + 3cos(4x) - 4cos³(2x) + {[1 + 2cos(4x) +
cos²(4x)] /4} } dx =
∫ (1/16)[4 - 4cos(2x) + 3cos(4x) - 4cos³(2x) + (1/4) + (1/2)cos(4x) +
(1/4)cos²(4x)] dx =
∫ (1/16) {[(16 + 1)/4] - 4cos(2x) + [(6 + 1)/2]cos(4x) - 4cos³(2x) +
(1/4)cos²(4x)] dx =
apliquemos otra vez la fórmula para la reducción del exponente cos²θ = [1 + cos(2θ)] /2:
∫ (1/16) {(17/4) - 4cos(2x) + (7/2)cos(4x) - 4cos³(2x) + (1/8)[1 +
cos(8x)]} dx =
∫ (1/16)[(17/4) - 4cos(2x) + (7/2)cos(4x) - 4cos³(2x) + (1/8) +
(1/8)cos(8x)] dx =
∫ (1/16) {[(34 + 1)/8] - 4cos(2x) + (7/2)cos(4x) - 4cos³(2x) +
(1/8)cos(8x)} dx =
partamos cos³(2x) en cos²(2x) cos(2x):
∫ (1/16) [(35/8) - 4cos(2x) + (7/2)cos(4x) - 4cos²(2x) cos(2x) + (1/8)cos(8x)] dx =
reemplacemos cos²(2x) con 1 - sen²(2x):
∫ (1/16) {(35/8) - 4cos(2x) + (7/2)cos(4x) - 4[1 - sen²(2x)] cos(2x) +
(1/8)cos(8x)} dx =
∫ (1/16) {(35/8) - 4cos(2x) + (7/2)cos(4x) - 4[cos(2x) -
sen²(2x) cos(2x)] + (1/8)cos(8x)} dx =
∫ (1/16) {(35/8) - 4cos(2x) + (7/2)cos(4x) - 4cos(2x) +
4sen²(2x) cos(2x) + (1/8)cos(8x)} dx =
∫ (1/16) [(35/8) - 8cos(2x) + (7/2)cos(4x) + 4sen²(2x) cos(2x) +
(1/8)cos(8x)] dx =
∫ [(1/16)(35/8) - (1/16)8cos(2x) + (1/16)(7/2)cos(4x) +
(1/16)4sen²(2x) cos(2x) + (1/16)(1/8)cos(8x)] dx =
(simplificando)
∫ [(35/128) - (1/2)cos(2x) + (7/32)cos(4x) + (1/4)sen²(2x) cos(2x) +
(1/128)cos(8x)] dx =
partamos en cinco integrales sacando las constantes:
(35/128) ∫ dx - (1/2) ∫ cos(2x) dx + (7/32) ∫ cos(4x) dx +
(1/4) ∫ sen²(2x) cos(2x) dx + (1/128) ∫ cos(8x) dx =
(35/128)x - (1/2) ∫ cos(2x) dx + (7/32) ∫ cos(4x) dx +
(1/4) ∫ sen²(2x) cos(2x) dx + (1/128) ∫ cos(8x) dx =
dividamos y multipliquemos cada integral por la derivada del argumento del integrando:
(35/128)x - (1/2)(1/2) ∫ cos(2x) 2 dx + (7/32)(1/4) ∫ cos(4x) 4 dx +
(1/4)(1/2) ∫ sen²(2x) cos(2x) 2 dx + (1/128)(1/8) ∫ cos(8x) 8 dx =
(35/128)x - (1/4) ∫ cos(2x) d(2x) + (7/128) ∫ cos(4x) d(4x) +
(1/8) ∫ sen²(2x) cos(2x) 2 dx + (1/1024) ∫ cos(8x) d(8x) =
(aplicando la regla de integración ∫ cos[f(x)] d[f(x)] = sen[f(x)] + C)
(35/128)x - (1/4)sen(2x) + (7/128)sen(4x) +
(1/8) ∫ sen²(2x) cos(2x) 2 dx + (1/1024)sen(8x) =
(siendo cos(2x) 2 la derivada de sen(2x))
(35/128)x - (1/4)sen(2x) + (7/128)sen(4x) +
(1/8) ∫ sen²(2x) d[sen(2x)] + (1/1024)sen(8x) =
(aplicando la regla de intrgración ∫ f(x)ⁿ d[f(x)] = [1/(n+1)] f(x)ⁿ⁺¹ + C)
(35/128)x - (1/4)sen(2x) + (7/128)sen(4x) +
(1/8) [1/(2+1)] [sen(2x)]² ⁺ ¹ + (1/1024)sen(8x) + C =
(35/128)x - (1/4)sen(2x) + (7/128)sen(4x) + (1/8)(1/3)[sen(2x)]³ +
(1/1024)sen(8x) + C =
concluyendo con:
(35/128)x - (1/4)sen(2x) + (7/128)sen(4x) + (1/24)sen³(2x) +
(1/1024)sen(8x) + C
espero haber sido de ayuda
¡Saludos!
∫ sin^8x dx =
since the integrand is even-powered, you have to start reducing its order by the power-reducing formula:
sin²x = (1/2)[1 - cos(2x)]
hence
∫ sin^8x dx = ∫ (sin²x)^4 dx = ∫ {(1/2)[1 - cos(2x)]}^4 dx =
expanding the integrand,
∫ (1/16){[1 - cos(2x)]²}² dx =
∫ (1/16)[1 - 2cos(2x) + cos²(2x)]² dx =
∫ (1/16)[1 + 4cos²(2x) + cos^4(2x) - 4cos(2x) + 2cos²(2x) - 4cos³(2x)] dx =
∫ (1/16)[1 + 6cos²(2x) + cos^4(2x) - 4cos(2x) - 4cos³(2x)] dx =
∫ [(1/16) + (1/16)6cos²(2x) + (1/16)cos^4(2x) - (1/16)4cos(2x) - (1/16)4cos³(2x)] dx =
∫ [(1/16) + (3/8)cos²(2x) + (1/16)cos^4(2x) - (1/4)cos(2x) - (1/4)cos³(2x)] dx =
break it into separate integrals, pulling constants out:
(1/16) ∫ dx + (3/8) ∫ cos²(2x) dx + (1/16) ∫ cos^4(2x) dx - (1/4) ∫ cos(2x) dx -
(1/4) ∫ cos³(2x) dx =
rewrite the even-powered integrands using the power-reducing formula
cos²x = (1/2)[1 + cos(2x)]
hence
cos²(2x) = (1/2)[1 + cos(4x)]
(1/16) ∫ dx + (3/8) ∫ (1/2)[1 + cos(4x)] + (1/16) ∫ [cos²(2x)]² dx - (1/4) ∫ cos(2x) dx -
(1/4) ∫ cos³(2x) dx =
(1/16) ∫ dx + (3/8)(1/2) ∫ [1 + cos(4x)] dx + (1/16) ∫ {(1/2)[1 + cos(4x)]}² dx -
(1/4) ∫ cos(2x) dx - (1/4) ∫ cos³(2x) dx =
(1/16) ∫ dx + (3/16) ∫ [1 + cos(4x)] dx + (1/16) ∫ (1/4)[1 + cos(4x)]² dx -
(1/4) ∫ cos(2x) dx - (1/4) ∫ cos³(2x) dx =
expand the square:
(1/16) ∫ dx + (3/16) ∫ [1 + cos(4x)] dx + (1/16) ∫ (1/4)[1 + 2cos(4x) + cos²(4x)] dx -
(1/4) ∫ cos(2x) dx - (1/4) ∫ cos³(2x) dx =
(1/16) ∫ dx + (3/16) ∫ [1 + cos(4x)] dx + (1/16) ∫ [(1/4) + (1/4)2cos(4x) + (1/4)cos²(4x)] dx -
(1/4) ∫ cos(2x) dx - (1/4) ∫ cos³(2x) dx =
(1/16) ∫ dx + (3/16) ∫ [1 + cos(4x)] dx + (1/16) ∫ [(1/4) + (1/2)cos(4x) + (1/4)cos²(4x)] dx -
(1/4) ∫ cos(2x) dx - (1/4) ∫ cos³(2x) dx =
break up the second and the third integral, factoring constants out:
(1/16) ∫ dx + (3/16) ∫ dx + (3/16) ∫ cos(4x) dx + (1/16)(1/4) ∫ dx + (1/16)(1/2) ∫ cos(4x) dx +
(1/16)(1/4) ∫ cos²(4x) dx - (1/4) ∫ cos(2x) dx - (1/4) ∫ cos³(2x) dx =
(1/16) ∫ dx + (3/16) ∫ dx + (3/16) ∫ cos(4x) dx + (1/64) ∫ dx + (1/32) ∫ cos(4x) dx +
(1/64) ∫ cos²(4x) dx - (1/4) ∫ cos(2x) dx - (1/4) ∫ cos³(2x) dx =
being cos²(4x) still even-powered, use the above power-reducing formula
(cos²x = (1/2)[1 + cos(2x)]) again:
(1/16) ∫ dx + (3/16) ∫ dx + (3/16) ∫ cos(4x) dx + (1/64) ∫ dx + (1/32) ∫ cos(4x) dx +
(1/64) ∫ (1/2)[1 + cos(8x)] dx - (1/4) ∫ cos(2x) dx - (1/4) ∫ cos³(2x) dx =
(1/16) ∫ dx + (3/16) ∫ dx + (3/16) ∫ cos(4x) dx + (1/64) ∫ dx + (1/32) ∫ cos(4x) dx +
(1/64)(1/2) ∫ [1 + cos(8x)] dx - (1/4) ∫ cos(2x) dx - (1/4) ∫ cos³(2x) dx =
(1/16) ∫ dx + (3/16) ∫ dx + (3/16) ∫ cos(4x) dx + (1/64) ∫ dx + (1/32) ∫ cos(4x) dx +
(1/128) ∫ dx + (1/128) ∫ cos(8x) dx - (1/4) ∫ cos(2x) dx - (1/4) ∫ cos³(2x) dx =
adding similar terms together, you have:
[(1/16) + (3/16) + (1/64) + (1/128)] ∫ dx + [(3/16) + (1/32)] ∫ cos(4x) dx +
(1/128) ∫ cos(8x) dx - (1/4) ∫ cos(2x) dx - (1/4) ∫ cos³(2x) dx =
[(8 + 24 + 2 + 1)/128] ∫ dx + [(6 + 1)/32] ∫ cos(4x) dx + (1/128) ∫ cos(8x) dx -
(1/4) ∫ cos(2x) dx - (1/4) ∫ cos³(2x) dx =
(35/128) ∫ dx + (7/32) ∫ cos(4x) dx + (1/128) ∫ cos(8x) dx - (1/4) ∫ cos(2x) dx -
(1/4) ∫ cos³(2x) dx =
integrating, you have:
(35/128)x + (7/32) (1/4)sin(4x) + (1/128) (1/8)sin(8x) - (1/4) (1/2)sin(2x) -
(1/4) ∫ cos³(2x) dx =
(35/128)x + (7/128)sin(4x) + (1/1024)sin(8x) - (1/8)sin(2x) - (1/4) ∫ cos³(2x) dx =
as for the remaining integral, being cosine odd-powered, rewrite it as:
(35/128)x + (7/128)sin(4x) + (1/1024)sin(8x) - (1/8)sin(2x) - (1/4) ∫ cos²(2x) cos(2x) dx =
rewrite cos²(2x) in terms of sin(2x):
(35/128)x + (7/128)sin(4x) + (1/1024)sin(8x) - (1/8)sin(2x) - (1/4) ∫ [1 - sin²(2x)] cos(2x) dx =
divide and multiply by 2 so as to get 2cos(2x) dx, that is d[sin(2x)]:
(35/128)x + (7/128)sin(4x) + (1/1024)sin(8x) - (1/8)sin(2x) - (1/4)(1/2) ∫ [1 -
sin²(2x)] [2cos(2x)] dx =
(35/128)x + (7/128)sin(4x) + (1/1024)sin(8x) - (1/8)sin(2x) - (1/8) ∫ [1 -
sin²(2x)] d[sin(2x)] =
break it up into:
(35/128)x + (7/128)sin(4x) + (1/1024)sin(8x) - (1/8)sin(2x) - (1/8) ∫ d[sin(2x)] +
(1/8) ∫ sin²(2x) d[sin(2x)] =
(35/128)x + (7/128)sin(4x) + (1/1024)sin(8x) - (1/8)sin(2x) - (1/8)sin(2x) +
(1/8) [1/(2+1)] sin^(2+1)(2x) + C =
(35/128)x + (7/128)sin(4x) + (1/1024)sin(8x) - (1/4)sin(2x) + (1/8)(1/3)sin³(2x) + C =
thus the definitive answer is:
∫ sin^8x dx = (35/128)x + (7/128)sin(4x) + (1/1024)sin(8x) - (1/4)sin(2x) +
(1/24)sin³(2x) + C
I hope it helps..