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es una integral de una sola variable con dos funciones

se resuelve con integrales por partes, entonces debes llamar a una función U y a la otra V

(siendo U la más complicada, en este caso, (lnx)^2)

debes obtener U y dU, y luego V y dV, que serían:

U=(lnx)^2, dU=2*lnx*(1/x)*dx

V=x, dV=1

y la solución es de la forma U*V - integral (V*dU)...ya sacaste una parte de la integral, sólo falta evaluar V*dU, pero mira que V=x y en el dU hay un 1/x, así que se cancela la x, y te queda la integral simple de un logaritmo natural (llamar U otra vez lnx, y V es 1)

al final te quedarían 3 términos, y la integral final sería la de 1/x que es ln(x)

suerte

I x (lnx)^2 dx = (1/2) I (lnx)^2 d(x^2) = (1/2) (lnx)^2(x^2) - I (x^2) d(lnx)^2 ,,,, (*)

I (x^2) d(lnx)^2 = I 2xlnx dx = I lnxd(x^2) =x^2lnx - I x^2 d(lnx)=x^2lnx - I xdx=x^2lnx -x^2/2

I x (lnx)^2 dx =(1/2) (lnx)^2(x^2) -x^2lnx +x^2/2 +c

facil ¿no?